Limita funkce

Limita funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Popisuje chování nějaké funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

Okolí bodu

Začneme definicí epsilon okolí bodu na množině reálných čísel. Nechť r ∈ ℝ. Pak řekneme, že epsilon okolí tohoto bodu pro ε > 0 je otevřený interval (r−ε, r+ε). Redukované epsilon okolí je stejné, pouze neobsahuje bod r. Redukované okolí je (r−ε, r) ∪ (r, r+ε). Epsilon okolí bodu a značíme U(a, ε), redukované okolí pak R(a, ε).

Pro příklad si vezmeme číslo pět a jeho 2-okolí. Počítáme tak U(5, 2), což je interval (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7) Redukované okolí by bylo R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Totéž okolí, pouze bez bodu pět. Graficky znázorněné 2-okolí bodu 5:

Redukované 2-okolí by vypadalo stejně, jen by tam nebyl zahrnut modrý bod 5.

Hromadný bod

Dále potřebujeme znát definici hromadného bodu množiny. Prvek a ∈ ℝ je hromadným bodem množiny M ⊆ ℝ, pokud platí, že v každém jeho redukovaném okolí, jakkoliv malém, leží nějaký bod množiny M. Přesněji:

$$\forall \epsilon > 0: R(a, \epsilon) \cap M \ne \emptyset$$

Příklady: každé reálné číslo je hromadným bodem množiny reálných čísel. Když si zvolíme číslo 10, tak v libovolném redukovaném okolí tohoto bodu vždy nalezneme reálné číslo. Pro $\epsilon=\frac{1}{100}$ dostáváme redukované okolí (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). V obou intervalech se nachází nějaké reálné číslo — přesněji nachází se tam nekonečně mnoho reálných čísel. Takže ať vezmeme jakkoliv malé ε, vždy dostaneme intervaly, které obsahují nekonečně mnoho reálných čísel.

Pokud bychom za M zvolili množinu přirozených čísel, nenašli bychom žádný hromadný bod. Například číslo $\frac12$ není hromadných bodem, protože pro $\epsilon=\frac{1}{10}$ dostáváme intervaly (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), přičemž ani jeden z intervalů neobsahuje žádné přirozené číslo.

Motivace k limitám

Začneme s nejlehčí definicí — vlastní limita ve vlastním bodě. Nejprve si ukážeme, co vlastně budeme chtít spočítat. Podívejte se na následující graf funkce signum:

Když si vezmeme bod x₁ = 3, tak platí, že funkční hodnota v tomto bodě je 1. Platí $\mbox{sgn}(3)=1$. Přitom také platí, že pro všechny „blízké“ okolní body má funkce funkční hodnotu 1, například $\mbox{sgn}(2,5)=1$ nebo $\mbox{sgn}(3,5)$. Pokud se k bodu x₁ = 3 blížíme zleva nebo zprava, funkční hodnoty jsou vždy rovny jedné.

Ale pokud si vezmeme bod x₂ = 0, tak platí, že $\mbox{sgn}(0) = 0$, přitom všechny okolní body mají jinou funkční hodnotu! Například $\mbox{sgn}(-\frac12)=-1$ nebo $\mbox{sgn}(\frac12)=1$. Funkční hodnoty zprava se blíží k hodnotě 1, zatímco funkční hodnoty zleva se blíží k hodnotě −1. A nakonec získáme v bodě x₂ = 0 funkční hodnotu 0. Zrada. Tyto hodnoty, ke kterým se funkce v daném bodě blíží, se pak nazývají limity funkce v bodě.

Definice vlastní limity ve vlastním bodě

Nechť f je funkce, x₀ ∈ ℝ je hromadný bod definičního oboru funkce f. Pak řekneme, že L ∈ ℝ je limitou funkce f v bodě x₀, jestliže

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

A teď co tato definice znamená. Vlastní bod v tomto případě znamená, že daný bod je reálné číslo. Později se budeme bavit o limitách v nevlastních bodech, což bude znamenat nekonečno. Zkusíme si vypočítat tuto limitu:

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = ?. $$

U takto jednoduchých funkcí platí, že limita funkce v bodě x₀ je rovna funkční hodnotě v tomto bodě: f(x₀). Později si přesně zadefinujeme, co znamená „jednoduchá funkce“. Nyní si vše zakreslíme do obrázku:

Černá přímka znázorňuje graf funkce $f(x)=\frac{x}{3}$, červený bod x₀ představuje bod, ve kterém limitu hledáme a zelený bod L představuje výslednou limitu. Všimněte si, že limitu znázorňujeme na ose y.

Budeme postupovat dle definice dále. Na prvním místě definice je $(\forall \epsilon > 0)$ a později je ε použito v |f(x)−L|<ε — to je takový matematický zápis toho, že chceme, aby všechna f(x) byla od L vzdálena o méně než ε. Hledáme tak ε-okolí bodu L na ose y. Dle definice si můžeme zvolit jakékoliv ε > 0, zvolíme například $\epsilon = \frac{3}{10}$. Nalezneme na ose y body, které jsou od bodu L vzdáleny právě ε:

Všechny body na ose y, které se nachází mezi těmito zelenými čárami se nachází v ε-okolí bodu L. To jsou ty body, o kterých mluví definice.

Definice pokračuje výrazem $(\exists\delta>0)$, které je dále použito ve výrazu 0<|x − x₀|<δ. My říkáme, že nějaký rozdíl x − x₀ má být menší než δ. Protože x, x₀ se nachází na ose x, budeme i hodnotu δ znázorňovat na ose x. Přitom výraz 0<|x − x₀|<δ nám opět říká, abychom vzali všechna x, která jsou od x₀ vzdálena méně než o δ, ale zároveň více než nula, tj. x ≠ x₀. Znamená to, že tento zápis nám značí redukované δ-okolí bodu x₀. Definici limity tak můžeme ekvivalentně přepsat pomocí okolí bodů:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(x\in R(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in U(L, \epsilon))$$

Vrátíme se k předchozí definici a budeme pokračovat v kreslení obrázku: Abychom si to znázornili, potřebujeme další část definice:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Tedy pro všechna x z redukovaného δ okolí bodu x₀ musí platit... nějaká podmínka. Přidáme si do obrázku redukované δ-okolí bodu x₀, například pro $\delta=\frac{3}{2}$:

Všechna x, která se nachází mezi červenými přerušovanými čárami patří do δ-okolí x₀, kromě samotného bodu x₀. Znovu se podíváme na předcházející podmínku:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Pro všechna x z redukovaného δ okolí bodu x₀ musí platit, že všechny funkční hodnoty f(x) se nachází v ε-okolí bodu L. Vezmeme si tak všechny x z redukovaného δ-okolí bodu x₀ a vypočítáme funkční hodnoty. Tyto funkční hodnoty jsou v následující obrázku znázorněny modrou úsečkou:

Bod x₀ není v redukovaném okolí, proto je v daném místě ten kroužek. Definice nám říká, že pro všechny tyto modré body musí platit, že jsou v ε-okolí bodu L. Řečeno barvami obrázku: všechny modré body musí být umístěny mezi zelenými čárami, které znázorňují ε-okolí. Platí to?

Samozřejmě, že neplatí, například pro $x=\frac{16}{10}$ evidentně dostáváme nějaký modrý bod, který není mezi zelenými čárami, tj. není v ε-okolí bodu L.

To ale nevadí, definice nám říká, že pro každé ε okolí bodu L musí existovat nějaké δ-okolí takové, že … zbytek podmínky. To znamená, že nám stačí, když existuje jedno takové δ-okolí. $\delta=\frac{3}{2}$ zjevně nebyla dobrá volba, ale můžeme zkusit jiné δ, například $\delta=\frac12$. Obrázek by se změnil takto:

Opět se podíváme na to, jestli jsou všechny funkční hodnoty pro všechna x z redukovaného δ-okolí bodu x₀ v ε-okolí bodu L. Zkrátka jestli jsou všechny modré body mezi červenými čárami. Ano, teď už jsou, hurá.

Znamená to, že L je limitou funkce v bodě x₀? Ne nutně, definice totiž praví, že $(\forall \epsilon > 0) \ldots$. My jsme zatím zkontrolovali definici pro jedno konkrétní ε, zbývá jich ještě … nekonečně mnoho.

Jinými slovy — aby opravdu platilo, že $\lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1$, tak bychom museli pro každé ε-okolí nalézt nějaké δ-okolí takové, aby platila předchozí podmínka. Z obrázku můžeme vidět, že takové δ-okolí vždy nalezneme, například pokud snížíme ε na $\epsilon=\frac{1}{10}$, pak můžeme snížit δ na $\delta=\frac{2}{10}$ a bude to fungovat:

Ať vezmeme ε sebemenší, vždy musíme najít δ takové, abychom dokázali funkční hodnoty dostat do ε-okolí limity funkce L.

Důkaz vlastní limity ve vlastním bodě

Zkusíme si předchozí limitu opravdu dokázat. Z obrázku už víme, že nejspíš

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1, $$

teď to zkusíme dokázat matematicky. Z obrázku bychom mohli vydedukovat, že když vždy za δ vezmeme tutéž hodnotu, jakou má ε, tak by to mohlo vyjít. Takže položme δ = ε. Nyní tak musíme dokázat

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{pro všechna}\quad x \in (x_0-\delta, \delta)\cup(x_0, x_0+\delta) $$

Protože jsme položili δ = ε, změníme všechna δ na ε:

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{pro všechna}\quad x \in (x_0-\epsilon, \epsilon)\cup(x_0, x_0+\epsilon) $$

Za L dosadíme 1 a za x₀ dosadíme 3:

$$ 1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon, \quad \mbox{pro všechna}\quad x \in (3-\epsilon, \epsilon)\cup(3, 3+\epsilon) $$

Nyní bychom měli dokázat všechny nerovnosti. Protože je funkce $\frac{x}{3}$ rostoucí, stačí nám ověřit krajní body 3−ε a 3+ε. Začneme s 3−ε — dosadíme do funkce $\frac{x}{3}$ hodnotu ε − 3 a ukážeme, že tato hodnota bude vždy splňovat nerovnosti 1 − ε < f(x) < 1 + ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3-\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &-\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

Totéž s 3+ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3+\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

Špatně určená limita

Nyní si ještě načrtneme, co by se stalo, kdybychom si mysleli, že limita funkce pro x blížící se třem má hodnotu jedna polovina. Zvolili bychom si nějaké malé okolí epsilon:

A v tuto chvíli již nemůžeme najít takové delta okolí bodu x₀, jehož všechny funkční hodnoty by se vešly mezi tyto zelené čáry. Vidíme, že pro zvolené δ okolí jsou všechny modré body mimo zelené čáry. Kdybychom zvětšili δ-okolí, tak jen zvětšíme počet modrých bodů, které nedostaneme mezi zelené čáry.

Limita signum

Signum je krásná funkce, která vám asi zamotá hlavu. Graf následuje:

Graf není úplně jasný, takže slovní popis: pokud je x záporné, pak je signum minus jedna, pokud je kladné, pak je plus jedna a pokud je x nulové, pak je i signum nula. Graf upravíme pomocí absolutní hodnoty f(x) = |sgn(x)| a získáme tak sgn(0) = 0, pro ostatní případy sgn(x) = 1. Graf:

Otázka zní, čemu je rovna tato limita?

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=?$$

Funkce je v bodě nula definována a funkční hodnota je rovna také nule. Nicméně to nám neříká, že se také limita bude rovnat nule. Limita se může lišit od funkční hodnoty v daném bodě.

Jediná možnost, jak zvolit limitu tak, aby nám správně vyšla definice, je zvolit limitu v jedničce. Můžeme si pomoci i intuicí: čemu se blíží funkční hodnota, pokud se x blíží k nule zleva? Neustále se blíží k jedničce. Že nakonec uskočí k nule nám nevadí. Obdobně pro x blížící se k nule zprava.

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=1$$

Pokud bychom ponechali funkci v původním tvaru, tj. f(x) = sgn(x), pak funkce v bodě nula nebude mít limitu, bude mít dvě různé jednostranné limity. Zleva se bude x blížit k minus jedné a zprava k plus jedné. Můžete si to zkusit dokázat podle definice.

Neexistující limity

Ukážeme si ještě několik příkladů, kdy limity neexistují.

Nejjednodušší příklad neexistence limity je spočítat limitu v bodě, který není hromadným bodem D(f). Takže například neexistuje limita:

$$\lim_{x\rightarrow-1}\ln x$$

Graf:

Periodické funkce často nemají limitu v nekonečnu (neplatí pro všechny!). Typicky goniometrické funkce jako třeba sinus. Graf následuje:

Limita v nekonečnu zkrátka neexistuje, hodnota sinu neustále osciluje mezi jedničkou a minus jedničkou, limitu tak nelze spočítat.

Externí odkazy a zdroje

• Jan Tomeček, Matematická analýza 1
• Řešené příklady na CUNI [PDF]