Pythagorova věta – řešené příklady

Sdílejte přátelům:

Sdílejte:

Naučte se, jak vypočítat délku přepony, odvěsny, jak odvodit vzorec pro výpočet odvěsny a nakonec, jak ověřit, zda je trojúhelník pravoúhlý.

Jak vypočítat délku přepony?

Zadání: Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku ABC, když znáte délky jeho odvěsen a = 12 cm a b = 5 cm.

Nejprve si napíšeme vzorec pro Pythagorovu větu:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Jelikož známe hodnoty a a b, můžeme do vzorce rovnou dosadit:

$c^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$

Abychom dostali hodnotu c, musíme získaný součet odmocnit:

$c = \sqrt[]{169}=13$

Jak vypočítat délku odvěsny?

Zadání: Vypočítejte délku odvěsny e pravoúhlého trojúhelníku DEF, když znáte délku jeho přepony f = 41 cm a odvěsnu d = 9 cm.

Nenechte se zmást tím, že v zadání není trojúhelník označen písmeny ABC a stranami a, b, c. V tomto příkladu schválně používáme jiné označení, protože i v praxi se můžete setkat s různým zadáním. Důležité je dosadit do vzorce správné hodnoty odpovídající odvěsnám a přeponě.

Nejprve si napíšeme vzorec pro Pythagorovu větu pro daný trojúhelník:

$f^{2} = d^{2} + e^{2}$

Tento vzorec však slouží k výpočtu přepony. Abychom z něj mohli vypočítat odvěsnu, musíme použít vzorec pro výpočet odvěsny. Pokus jej neznáte z hlavy, jednoduše ho odvodíte tak, že známou odvěsnu převedete na druhou stranu rovnice ke známé přeponě. Neznámá odvěsna tak zůstane na jedné straně rovnice sama a můžeme ji vypočítat. Při převádění na druhou stranu rovnice nesmíme zapomenout změnit znaménko u převáděné odvěsny.

$f^{2} - d^{2} = e^{2}$

Což můžeme zapsat taky jako:

$e^{2} = f^{2} - d^{2}$

Abychom dostali hodnotu e, musíme získaný rozdíl odmocnit:

$e = \sqrt[]{f^{2} - d^{2}}$

Výsledek dostaneme dosazením známých hodnot pro přeponu a zbývající odvěsnu:

$e = \sqrt[]{41^{2} - 9^{2}} = \sqrt[]{1681 - 81} = \sqrt[]{1600} = 40$

Jak zjistit, jestli je trojúhelník pravoúhlý?

Zadání: Zjistěte, jestli je trojúhelník ABC pravoúhlý, pokud jsou délky jeho stran a = 24 cm, b = 8 cm, c = 25 cm.

Pythagorova věta vám pomůže odhalit, zda je trojúhelník pravoúhlý jednoduše tak, že dosadíme rozměry jeho odvěsen a přepony do známého vzorce. Pokud je trojúhelník pravoúhlý, bude se součet obsahu čtverců nad odvěsnami rovnat obsahu čtverce nad přeponou.

Napíšeme si klasickou Pythagorovu větu:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Dosadíme do ní známé délky stran trojúhelníku (pozor, abyste jako přeponu zadali rozměr té nejdelší strany):

$25^{2} = 24^{2} + 8^{2}$

Umocněním vypočítáme obsahy čtverců:

$625 = 576 + 64$

A po sečtení pravé strany dostáváme zřejmou nerovnost:

$625 \neq 640$

Jelikož součet obsahů čtverců nad odvěsnami není stejný jako obsah čtverce nad přeponou, není tento trojúhelník pravoúhlý.

Pro zajímavost si ještě zkusme spočítat, kolik by musela měřit jeho nejkratší odvěsna, aby trojúhelník pravoúhlý byl. Použijeme pro to vzorec pro výpočet délky odvěsny, který jsme si odvodili výše a dosadíme do něj známou délku přepony a delší odvěsny:

$b = \sqrt[]{c^{2} - a^{2}}$

$b = \sqrt[]{25^{2} - 24^{2}}$

$b = \sqrt[]{625 - 576}$

$b = \sqrt[]{49}$

$b = 7$

Stačilo tedy docela málo – daný trojúhelník by byl pravoúhlý, kdyby jeho nejkratší odvěsna byla o jeden centimetr kratší a měřila 7 cm.

Podívejte se také na slovní úlohy, ve kterých se používá Pythagorova věta.

Témata: pravoúhlý trojúhelník, příklady, Pythagorova věta

Rozšiřte si obzory...

Potřebujete na stavbě, v dílně nebo třeba na zahradě vyměřit pravý úhel a nemáte úhelník, ani úhloměr? Nevadí, stačí vám k tomu posuvný metr

Zobrazit celé »

Matematika.cz

Pythagorova věta – řešené příklady

Sdílejte přátelům:

Sdílejte přátelům:

Sdílejte:

Jak vypočítat délku přepony?

Jak vypočítat délku odvěsny?

Jak zjistit, jestli je trojúhelník pravoúhlý?

Mohlo by vás zajímat

Jak sestrojit pravý úhel bez úhloměru – například na stavbě?

Pythagorejská čísla a pythagorejské trojice