STROJIRENSTVI.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zobrazit kapitoly článku
  1. Maturita 2013 jaro 1/3
  2. Maturita 2013 jaro 2/3
  3. Maturita 2013 jaro 3/3

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 11 až 20. Úlohy 1 až 10 naleznete na předcházející stránce, zbylé úlohy se pak nachází na další stránce.

11. úloha #

Čtvrtým a šestým členem aritmetické posloupnosti jsou čísla \(\frac{11}{3}\) a \(\frac{7}{3}\). Vypočtěte pátý člen této posloupnosti.

Řešení: Sousední prvky aritmetické posloupnosti se vždy liší o stejnou konstantu, které se říká diference. Například 5, 8, 11, 14, … je aritmetická posloupnost a diference je 3. Abychom vypočítali pátý člen posloupnosti, měli bychom najít právě diferenci. Vypočítáme rozdíl mezi šestým a čtvrtým členem:

\[\frac{7}{3}-\frac{11}{3} = -\frac{4}{3}\]

Hodnota \(-\frac{4}{3}\) představuje součet diferencí, které se nachází „mezi“ čtvrtým a šestým členem. Vydělíme tuto hodnotu dvěma (6 − 4 = 2) a získáme diferenci:

\[d = -\frac{4}{3} / 2 = -\frac{2}{3}\]

Diference je rovna \(-\frac{2}{3}\). Tuto diferenci přičteme ke čtvrtému prvku a získáme pátý prvek:

\[a_5 = a_4 + d = \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9}{3}\]

Ke stejnému výsledku můžeme dospět i jednodušeji: pátý člen se nachází přesně mezi čtvrtým a šestým. Stačí tak vypočítat průměr čtvrtého a šestého členu:

\[a_5 = \frac{a_4+a_6}{2}=\frac{\frac{11}{3}+ \frac{7}{3}}{2}=\frac{\frac{18}{3}}{2}=\frac{9}{3}.\]

12. úloha #

V oboru \(\mathbb{R}\) řešte:

\[5^{x+4}=\frac{25}{5^x}\]

Řešení: Začneme úpravou pravé strany rovnice. 25 můžeme zapsat jako 52:

\[5^{x+4}=\frac{5^2}{5^x}\]

Nyní využijeme vzorce pro mocniny. Protože \(\frac{1}{a^b}\) je totéž jako ab, tak můžeme zlomek přepsat do součinu takto:

\[5^{x+4}=5^2\cdot5^{-x}\]

Využijeme další vzorec., který říká: ab · ac = ab + c:

\[5^{x+4}=5^{2-x}\]

Nyní máme na obou stranách rovnice výraz ve tvaru 5?. Číslo pět tak můžeme odstranit a můžeme hledat rovnost jen těch výrazů, které jsou v exponentu:

\[x+4=2-x\]

To je jednoduchá lineární rovnice, kterou vyřešíme takto:

\begin{eqnarray} x+4&=&2-x\\ 2x+2&=&0\\ x&=&-1 \end{eqnarray}

Množina kořenů: K = {−1}.

13. úloha #

V prvních dvou dnech zkušebního provozu pracovala linka na 25 % výkon, ve dvou dalších dnech na 50% výkon a pátý den na plný výkon. Za pět dnů zkušebního provozu se tak vyrobilo celkem 720 výrobků.

Kolik výborků se vyrobí za 5 dnů při plném výkonu linky?

Řešení: Nechť proměnná x označuje, kolik výrobků vyrobí pracovní linka za jeden den při plném výkonu. Pak můžeme napsat, že první a druhý den linka vyrobila \(\frac{1}{4}\cdot x\) výrobků (25 % = čtvrtina výrobků), třetí a čtvrtý den \(\frac{1}{2}\cdot x\) výrobků a pátý den x výrobků. Platí tak, že

\[\frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + x = 720\]

Trochu to posčítáme a zcivilizujeme:

\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + x &=& 720\\ \frac{2}{4}\cdot x + \frac{2}{2}\cdot x + x &=& 720\\ \frac{5}{2}\cdot x &=& 720\\ 5x &=& 1440\\ x &=& 288 \end{eqnarray}

Při plném provozu se za jeden den vyrobí 288 výrobků. Za pět dní se tak vyrobí 288 · 5 = 1440 výrobků.

14. úloha #

Žákovský oddíl karate má dvakrát více chlapců než dívek. Na závody se má sestavit jedno družstvo dívek a stejně početné družstvo chlapců. Do chlapeckého družstva se nedostane 12 hochů, naopak k sestavení kompletního dívčího družstva 1 děvče chybí.

Kolik členů je v žákovském oddílu karate?

Řešení: Nechť proměnná x označuje počet dívek. Počet chlapců je tak roven 2x a oddíl má celkem x + 2x členů. Dále nechť proměnná y označuje velikost družstva, které sestavujeme. Platí, že y = x + 1 (jedna dívka chybí) a y = 2x − 12 (12 chlapců přebývá). Řešíme tak soustavu rovnic:

\begin{eqnarray} y &=& x + 1\\ y &=& 2x - 12 \end{eqnarray}

Můžeme použít substituční metodu a do druhé rovnice dosadit za y výraz x + 1. Dostaneme rovnici o jedné nenzámé:

\[x+1 = 2x-12\]

To je obyčejná lineární rovnice, kterou snadno vyřešíme:

\begin{eqnarray} x+1 &=& 2x-12\\ -x+13&=&0\\ x&=&13 \end{eqnarray}

Proměnná x označovala počet dívek, takže počet členů celého oddílu je roven 3 · x = 3 · 13 = 39.

15. úloha #

V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm. Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm.

Ilustrační obrázek k zadáníIlustrační obrázek k zadání

Vypočtěte délku p strany QR.

Řešení: Potřebujeme znát délku strany PQ, abychom mohli použít Pythagorovu větu a vypočítat délku strany QR. Známe délku úsečky QX, potřebujeme vypočítat délku úsečky PX. Protože PXR je také pravoúhlý trojúhelník, můžeme také použít Pythagorovu větu. Platí:

\[|PX|^2+|PR|^2=|RX|^2\]

Osamostatníme |PX|:

\begin{eqnarray} |PX|^2+|PR|^2&=&|RX|^2\\ |PX|^2&=&|RX|^2-|PR|^2\\ |PX|&=&\sqrt{|RX|^2-|PR|^2} \end{eqnarray}

A dosadíme:

\begin{eqnarray} |PX|&=&\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15 \end{eqnarray}

Délka strany PQ je tak rovna: |PX|+|XQ| = 15 + 33 = 48. Znovu použijeme Pythagovoru větu a vypočítáme délku přepony QR:

\begin{eqnarray} |QR|^2&=&|PQ|^2+|RP|^2\\ |QR|^2&=&48^2+20^2\\ |QR|^2&=&2704\\ |QR|&=&\sqrt{2704}=52 \end{eqnarray}

Délka strany QR je rovna p = 52 cm.

16. úloha #

V trojúhelníku ABC leží proti stranám úhly α, β, γ. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c (ANO), či nikoli (NE).

  1. \(b=1, c=2, \alpha=60^{\circ}\): Spočítáme si kosinus úhlu alpha. Ten je roven \(\cos \alpha = \frac12\). Přitom, pokud by se mělo jednat o pravoúhlý trojúhelník, by stejnou hodnotu měl mít poměr stran \(\frac{b}{c}\), protože kosinus je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. Poměr těch stran je roven \(\frac{b}{c}=\frac{1}{2}\), stejně jako kosinus. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

  2. \(a=1, b=\sqrt{3}, \alpha=60^{\circ}\): Budeme postupovat stejně, jen použijeme tangens, který udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsny. Spočítáme si jako první tangens: \(\tan \alpha = \sqrt{3}\). Protilehlá odvěsna k úhlu α je strana a, přilehlá je strana b. Pokud by šlo o pravoúhlý trojúhelník, musí se poměr \(\frac{a}{b}\) rovant tan α. Poměr je roven \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). To není totéž jako tan α, takže to není pravoúhlý trojúhelník. NE

  3. \(a=2, c=4, \alpha=30^{\circ}\) Postup bude stejný jako v prvním případě, jen použijeme sinus místo kosinu. Poměr přepony ku protilehlé odvěsně je \(\frac{a}{c}=\frac{2}{4}\), přitom \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\). Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

  4. \(a=\sqrt2, b=\sqrt6, \alpha=30^{\circ}\) Známe stejné strany a úhly jako ve druhém případě, použijeme stejný postup: \(\tan \alpha =\frac{\sqrt3}{3}\), poměr stran: \(\frac{a}{b}=\frac{\sqrt2}{\sqrt6}\). Tento zlomek musíme ještě upravit. \(\sqrt6\) můžeme rozepsat jako \(\sqrt2\cdot\sqrt3\), (viz pravidla pro odmocniny), pak získáme zlomek

    \[ \frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} \]

    Poměr stran je stejný jako tangens úhlu, jedná se tak o pravoúhlý trojúhelník. ANO

17. úloha #

Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek (resp. průsečík přímek, na kterých leží, tedy ortocentrum) vně trojúhelníku?

Ilustrační obrázek k zadáníIlustrační obrázek k zadání

Řešení: Ortocentrum leží vně trojúhelníku tehdy, pokud je trojúhelník tupoúhlý. Trojúhelník je tupoúhlý, pokud má jeden úhel větší než \(90^{\circ}\). Na obrázku tak jsou celkem dva tupoúhlé trojúhelníky (první a poslední) a tak dva trojúhelníky mají ortocentrum vně.

18. úloha #

Ilustrační obrázek k zadáníIlustrační obrázek k zadání

Jaká je velikost úhlu β?

Řešení: Označené úhly jsou úhly vrcholové, tedy jsou stejně velké. Platí tak, že

\[2\pi-2\beta = \beta+\frac13\pi\]

Úhel vypočítáme tak, že z této rovnice osamostatníme β:

\begin{eqnarray} 2\pi-2\beta &=& \beta+\frac13\pi\\ -3\beta &=& \frac13\pi-2\pi\\ \beta &=& -\frac{1}{9}\pi+\frac{2}{3}\pi\\ \beta &=& -\frac{1}{9}\pi+\frac{6}{9}\pi\\ \beta &=& \frac{5}{9}\pi \end{eqnarray}

Úhel β má velikost \(\beta = \frac{5}{9}\pi\). Z nabízených možností to pak je E.

19. úloha #

Pro \(x\in \mathbb{R}\setminus \left\{3\right\}\) a \(n\in \mathbb{N}\) je dán vztah \(n=\frac{5}{x-3}\).

Které z následujících tvrzení platí?

  • A) \(x=\frac{5n-3}{n}\)
  • B) \(x=\frac{5}{n+3}\)
  • C) \(x=\frac{n-3}{5}\)
  • D) \(x=\frac{5}{n}+3\)
  • E) \(x=\frac{5}{n}-3\)

Řešení: Zkrátka osamostatníme x:

\begin{eqnarray} n&=&\frac{5}{x-3}\qquad/\cdot(x-3)\\ n\cdot(x-3)&=&5\\ n\cdot x-3n &=& 5\\ n\cdot x &=&5+3n\\ x &=& \frac{5+3n}{n}\\ x &=& \frac{5}{n}+\frac{3n}{n}\\ x &=& \frac{5}{n}+3 \end{eqnarray}

Správně je odpověď D.

20. úloha #

Káď na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm2 má objem 600 litrů. Káď je naplněna vodou pouze do tří čtvrtin.

V jaké výšece ode dna (s přesností na cm) je vodní hladina?

  • A) 13 cm
  • B) 32 cm
  • C) 44 cm
  • D) 57 cm
  • E) v jiné výšce

Řešení: Litr je jednotka objemu, ale není jednotkou soustavy SI. Litr se rovná 1 dm3 nebo též 1000 cm3. Káď tak má objem 600 · 1000 = 600000 cm3. Dále musíme spočítat výšku kádě. Tu vypočítáme ze vzorce pro výpočet objemu O válce. Ten vypadá takto:

\[O = S \cdot v,\]

kde S je obsah podstavy a v je výška. Protože obsah podstavy a celkový objem známe, osamostatníme v rovnici v, výšku:

\begin{eqnarray} O &=& S \cdot v\qquad/\cdot \frac{1}{S}\\ \frac{O}{S} &=& v \end{eqnarray}

Nyní dosadíme do vzorce:

\[v = \frac{O}{S} = \frac{600000\,\mbox{cm}^3}{14000\,\mbox{cm}^2}\approx42,85\,\mbox{cm}\]

Výška válce je přibližně 42,85 cm. Protože je válec zaplněný jen do tří čtvrtin, vynásobíme výšku válce třemi čtvrtinami:

\[42,85\cdot \frac{3}{4}=32,1375\approx32\]

Vodní hladina je přibližně ve výšce 32 cm, správná odpověď je B.