PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zobrazit kapitoly článku
  1. Maturita 2013 jaro 1/3
  2. Maturita 2013 jaro 2/3
  3. Maturita 2013 jaro 3/3

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 1 až 10. Další řešení maturitních úloh se nachází na další stránce.

1. úloha #

Trojúhelník je rozdělen na tři části. Část při vrcholu C zaujímá třetinu obsahuje trojúhelníku, část při vrcholu B dvě pětiny obsahu trojúhelníku a zbývající část při vrcholu A má obsah 4 m2.

Ilustrační obrázek k úloze 1Ilustrační obrázek k úloze 1

Vypočtětě v m2 obsah trojúhelníku ABC.

Řešení: jako první sečteme oba zlomky, čímž zjistíme, jak velkou plochu zabírají šedé části v trojúhelníku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele a sečteme je:

\[\frac13\cdot\frac55+\frac25\cdot\frac33=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}\]

Šedá plocha zabírá \(\frac{11}{15}\) obsahu trojúhelníku, bílé 4 m2 tak představují \(\frac{4}{15}\) plochy trojúhelníku. Pokud 4 m2 představují \(\frac{4}{15}\) plochy trojúhelníku, pak 1 m odpovídá \(\frac{1}{15}\) plochy trojúhelníku. Nás zajímá plocha celého trojúhelníku, tedy \(\frac{15}{15}\) plochy trojúhelníku, což je 15 m2.

2. úloha #

Zaokrouhlete na desítky výsledek číselného výrazu:

\[10^5\cdot\left(0,\overline{25}-0,2\overline{05}\right)=\]

Pruh nad čísly značí, že se jedná o periodické číslo s danou periodou. Takže \(0,\overline{25}\) značí číslo 0, 2525252525… atp.

Řešení: začneme odečtením výrazu v závorce.

\[\begin{array}{}&0,&2&5&2&5&2&5&\ldots\\-&0,&2&0&5&0&5&0&\ldots\\&0,&0&4&7&4&7&4&\ldots\end{array}\]

Výsledek je \(0,0\overline{47}\). Dále vynásobíme \(10^5\cdot0,0\overline{47}\):

\[10^5\cdot0,0\overline{47}=100\,000\cdot0,04747\overline{47}=4747,\overline{47}\]

Protože zaokrouhlujeme na desítky, zajímají nás jen jednotky, takže zaokrouhlujeme číslo 4747 na desítky, na místě jednotek je sedmička, takže zaokrouhlujeme nahoru na 4750.

3. úloha #

Pro \(x\in \mathbb{R}\) proveďte:

\[\frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{12x}{9}\right)=\]

Řešení: poslední zlomek můžeme zkrátit tak, aby měl ve jmenovateli 6 – pak budeme moci všechny zlomky snadno sečíst.

\[\frac{12x}{9}\cdot \frac{\frac23}{\frac23}=\frac{12x\cdot\frac23}{9\cdot\frac23}=\frac{8x}{6}\]

Tento zlomek vložíme do původní úlohy a dopočítáme zbytek:

\begin{eqnarray} \frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{12x}{9}\right)&=&\frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{8x}{6}\right)\\ &=&\frac{5x-6}{6}-\frac{x}{6}+\frac{8x}{6}\\ &=&\frac{5x-6-x+8x}{6}\\ &=&\frac{12x-6}{6} \end{eqnarray}

Dále v čitateli zlomku vytkneme číslo 6, kterým pak zkrátíme celý zlomek:

\begin{eqnarray} \frac{12x-6}{6} &=& \frac{\color{red}{6}\cdot (2x-1)}{\color{red}{6}}\\ &=&\frac{2x-1}{1}\\ &=&2x-1 \end{eqnarray}

4. úloha #

Pro \(a\in \mathbb{R}\) upravte výraz a uveďte podmínky.

\[\frac{4a-\frac1a}{4a+2}\]

Řešení: Začneme s podmínkami. Výraz a se dvakrát vyskytuje ve jmenovateli, který nemůže být rovný nule, protože nulou nepodělíš. Ze zlomku \(\frac{1}{a}\) získáváme podmínku a≠0 a z celého zlomku máme podmínku 4a + 2≠0. Z toho hned vidíme, že \(a\ne-\frac12\).

Celý zlomek rozšíříme \(\frac{a}{a}\), čímž se zbavíme a ve jmenovateli toho jednoduššího zlomku:

\begin{eqnarray} \frac{4a-\frac1a}{4a+2} &=& \frac{4a-\frac1a}{4a+2} \cdot \frac{a}{a}\\ &=&\frac{4a^2-1}{4a^2+2a} \end{eqnarray}

Ve jmenovateli vytkneme 2a:

\begin{eqnarray} \frac{4a^2-1}{4a^2+2a} &=& \frac{4a^2-1}{2a(2a+1)} \end{eqnarray}

Čitatel rozložíme podle vzorce a2b2 = (a + b) · (ab):

\begin{eqnarray} \frac{4a^2-1}{2a(2a+1)} &=& \frac{(2a-1)\cdot(2a+1)}{2a(2a+1)} \end{eqnarray}

A teď už jen zkrátíme 2a + 1:

\begin{eqnarray} \frac{(2a-1)\cdot\color{red}{(2a+1)}}{2a\color{red}{(2a+1)}} &=& \frac{2a-1}{2a} \end{eqnarray}

To už je vše, dále výraz nezjednodušíme.

5. úloha #

V oboru \(\mathbb{R}\) řešte:

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{2}-3 \frac{x+1}{6}&<&x \end{eqnarray}

Řešení: Jedná se o lineární nerovnici, takže budeme používat ekvivalentní úpravy nerovnic. Nejdříve se zbavíme zlomků. Celou nerovnici vynásobíme 6, čímž se zbavíme jak prvního, tak druhého zlomku (číslo 6 je nejmenší společný násobek čísel 2 a 6):

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{2}-3 \frac{x+1}{6}&<&x\qquad/\cdot6\\ 3(x-1)-3(x+1)&<&6x\\ 3x-3-3x-3-6x&<&0\\ -6x-6&<&0 \end{eqnarray}

Dále nerovnici vynásobíme −1. Pozor na to, že musíme zároveň obrátit znaménko nerovnosti.

\begin{eqnarray} -6x-6&<&0\qquad/\cdot(-1)\\ 6x+6&>&0\qquad/\cdot\frac16\\ x+1&>&0\\ x&>&-1 \end{eqnarray}

6. úloha #

V oboru \(\mathbb{R}\) řešte:

\[3x(x+1)=9x^2\]

Řešení: Výraz 9x2 můžeme rozložit na (3x) · (3x). Pak dostaneme:

\begin{eqnarray} 3x(x+1)&=&9x^2\\ 3x(x+1)&=&(3x)\cdot(3x)\\ 3x(x+1)-(3x)\cdot(3x)&=&0\qquad/\mbox{vytkneme }3x\\ 3x((x+1)-3x)&=&0\\ 3x(-2x+1)&=&0 \end{eqnarray}

Máme výraz ve tvaru součinu a ten je roven nule, pokud je alespoň jeden součinitel rovný nule. Výraz 3x(−2x + 1) je tak rovný nule, pokud 3x = 0 nebo pokud −2x + 1 = 0.

Rovnice 3x = 0 zřejmě platí pro x = 0, rovnice −2x + 1 = 0 platí pro \(x=\frac{1}{2}\). Množina kořenů rovnice je tak rovna \(K=\left\{0,\frac12\right\}\).

Úlohu můžeme vyřešit i jiným způsobem. Protože jde o běžnou kvadratickou rovnici, můžeme ji vyřešit s pomocí diskriminantu. Převedeme všechny výrazy na levou stranu a posčítáme je:

\begin{eqnarray} 3x(x+1)&=&9x^2\\ 3x^2+3x-9x^2&=&0\\ -6x^2+3x&=&0 \end{eqnarray}

Diskriminant je roven D = b2 − 4ac. Koeficient c je nulový, takže D = b2 = 32 = 9. Dopočítáme kořeny rovnice pomocí vzorce

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

\begin{eqnarray} x_1&=&\frac{-3+\sqrt{9}}{-12}=\frac{-3+3}{-12}=0\\ x_2&=&\frac{-3-\sqrt{9}}{-12}=\frac{-6}{-12}=\frac12 \end{eqnarray}

7. úloha #

Je dána přímka:

\begin{eqnarray} p: x &=& 2t,\\ y &=& 4+3t; t\in \mathbb{R} \end{eqnarray}

Zapište obecnou rovnici přímky p.

Řešení: Přímku p máme zadanou parametricky. Abychom získali obecnou rovnici přímky, musíme z rovnic odstranit parametr t. Jinak řečeno: musíme obě rovnice sečíst tak, abychom vyrušili parametr t. První rovnici tak vynásobíme 3 a druhou −2. Tím bude v první rovnici 6t a ve druhé −6t, takže se to pak hezky vyruší:

\begin{eqnarray} x &=& 2t,\\ y &=& 4+3t \\\hline 3x &=& 6t\\ -2y &=& -8-6t \end{eqnarray}

Nyní obě rovnice sečteme:

\begin{eqnarray} 3x-2y &=& 6t - 6t -8\\ 3x-2y &=& -8\\ 3x-2y+8 &=&0 \end{eqnarray}

A to je obecná rovnice přímky p: 3x − 2y + 8 = 0.

8. úloha #

V trojúhelníku ABC je dáno \(A[-2,-1], C[-1,3], \vec{CB}=\vec{a}=(2;-3)\).

  1. Sestrojte trojúhelník ABC.

    Řešení: Nejprve si narýsujeme obrázek toho, co zatím známe:

    Ilustrace zadáníIlustrace zadání

    K tomu, abychom narýsovali celý trojúhelník ABC, potřebujeme znát umístění bodu B. Víme, že orientovaná úsečka \(\vec{CB}\) je shodná s vektorem (2, −3). Máme-li úsečku \(\vec{CB}\), tak normovaný vektor z této úsečky získáme tak, že odečteme souřadnice BC. Tento rozdíl musí být roven danému vektoru (2, −3). Musí tak platit, že BC = (2, −3). Dál už to je jednoduché:

    \begin{eqnarray} B - \left[-1, 3\right] &=& \left(2, -3\right)\\ \left[\color{red}{b_1}, \color{blue}{b_2}\right]- \left[\color{red}{-1}, \color{blue}{3}\right] &=& \left(\color{red}{2}, \color{blue}{-3}\right)\\ \end{eqnarray}

    Osamostatníme jednotlivé souřadnice:

    \begin{eqnarray} \color{red}{b_1 - (-1)} &\color{red}{=}& \color{red}{2}\\ \color{blue}{b_2 - 3}&\color{blue}{=}& \color{blue}{-3}\\\hline \color{red}{b_1} &\color{red}{=}& \color{red}{1}\\ \color{blue}{b_2} &\color{blue}{=}& \color{blue}{0} \end{eqnarray}

    Bod B má souřadnice B[1, 0]. Narýsujeme trojúhelník:

    Ilustrace řešeníIlustrace řešení

  2. Určete souřadnice středu S strany AC.

    Řešení: Střed nalezneme snadno, sečteme souřadnice bodů A + C a vydělíme dvěma:

    \begin{eqnarray} S = \frac{A+C}{2}&=&\frac{\left[-2,-1\right]+\left[-1,3\right]}{2}\\ &=&\frac{\left[-2-1,-1+3\right]}{2}\\ &=&\frac{\left[-3,2\right]}{2}\\ &=&\left[-\frac32, 1\right] \end{eqnarray}

9. úloha #

V soutěži na dopravním hřišti mohl každý soutěžící získat celkem 0–4 trestné body. Výsledky soutěže udává následující graf.

Ilustrační obrázek k zadáníIlustrační obrázek k zadání

  1. Určete medián počtu trestných bodů přidělených jednotlivým soutěžícím.

    Medián získáme tak, že seřadíme všechny rozdané trestné body a podíváme se, jaká hodnota je uprostřed. Začneme tím, že si spočítáme, kolik celkem soutěžilo soutěžících: 7 + 6+6 + 4+2 = 25. Nás zajímá hodnota „uprostřed“, tedy 13. soutěžící. Z grafu vyčteme, že nula bodů získalo 7 soutěžících, 1 trestný bod dostalo 6 soutěžících. 13. soutěžící tak dostal jeden trestný bod, medián je roven jedné.

    Můžeme si všechny trestné body ručně vypsat:

    \(0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,\color{red}{\mathbf{1}},2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4\).

    Tučná červená jednička rozděluje posloupnost trestných bodů na polovinu, nalevo i napravo je 12 dalších čísel, proto je to medián.

  2. Určete průměrný počet trestných bodů na osobu.

    Průměr \(\overline{x}\) získáme tak, že sečteme všechny udělené trestné body a vydělíme je počtem soutěžících, kterých je 25.

    \[ \overline{x} = \frac{6 + 6\cdot2+4\cdot3+2\cdot4}{25} = \frac{38}{25} = 1,52 \]

10. úloha #

V aritmetické posloupnosti je první člen a1 = 1 a součet prvních čtyřiceti členů s40 = 1600. Vypočtěte čtyřicátý člen a40 této posloupnosti.

Řešení: Vezmeme si na pomoc vzorec pro součet prvních n prvků posloupnosti. Ten vypadá takto:

\[s_n = \frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}\]

Do tohoto vzorce dosadíme hodnoty, které známe a jedinou hodnotu, kterou neznáme a kterou chceme vypočítat, osamostatníme. Chceme znát an pro n = 40, takže ze vzorce nejprve osamostatníme an:

\begin{eqnarray} s_n &=& \frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}\qquad/\cdot2\\ 2s_n &=& n\cdot (a_1+a_n)\\ 2s_n &=& n\cdot a_1+n\cdot a_n\\ 2s_n - n\cdot a_1 &=& n\cdot a_n\qquad/\cdot\frac1n\\ \frac{2s_n - n\cdot a_1}{n} &=& a_n \end{eqnarray}

A teď už jen dosadíme hodnoty, které známe pro n = 40:

\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{2s_n - n\cdot a_1}{n}\\ &=& \frac{2\cdot1600-40\cdot1}{40}\\ &=& 79 \end{eqnarray}

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace