STROJIRENSTVI.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Zobrazit kapitoly článku
  1. Maturita 2013 Ilustrační test 1/3
  2. Maturita 2013 Ilustrační test 2/3
  3. Maturita 2013 Ilustrační test 3/3

21. úloha #

Ve kterém trojúhelníku leží ortocentrum (průsečík přímek, na nichž leží výšky trojúhelníku) vně trojúhelníku a současně na ose jedné strany trojúhelníku?

  • A) v rovnostranném trojúhelníku
  • B) v pravoúhlém trojúhelníku
  • C) v ostroúhlém trojúhelníku
  • D) v rovnoramenném tupoúhlém trojúhelníku
  • E) v žádném, popsaná situace nemůže nastat

Řešení: Výška trojúhelníku je úsečka. Jedním vrcholem úsečky je vrchol trojúhelníku a druhým vrcholem je bod na protější straně trojúhelníku, přičemž samotná výška musí být k této straně kolmá.

Správná odpověď je tak D, prohlédněte si obrázek takového trojúhelníku:

Ilustrace k řešeníIlustrace k řešení

Modře je zvýrazněn tupoúhlý rovnoramenná trojúhelník ABC. Červené úsečky AE, CD, BF jsou výšky trojúhelníku. Stejnojmenné přímky se pak protínají v bodě O, ortocentru, který leží na ose strany AB, na zelené přímce CD.

22. úloha #

Na vodorovné podložce je položena bedna tvaru krychle s hranou délky a. Bedna osvětlená slunečním světlem vrhá stín na podložku. Směr slunečních paprsků svírá s podložkou úhel α. (Směr je rovnoběžný se dvěma stěnami krychle.)

Ilustrace k zadáníIlustrace k zadání

Jak dlouhá je hrana krychle, jestliže je \(\tan \alpha=\frac23\)?

  • A) kratší než 2,4 m
  • B) 2,4m
  • C) 2,5 m
  • D) 2,6 m
  • E) delší než 2,6 m

Řešení: Tangens je goniometrická funkce, která v pravoúhlém trojúhelníku udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně. Abychom se v tom obrázku vyznali, přidáme tam nějaké body:

Ilustrace k zadáníIlustrace k zadání

Zadání nám říká, že tangens úhlu α je roven \(\frac{2}{3}\), což znamená, že poměr velikosti strany AC a AB je roven \(\frac{2}{3}\). Zapsáno formálně:

\[\frac{|AC|}{|AB|}=\tan \alpha = \frac{2}{3}\]

Protože úsečka AC je stejně velká jako úsečka AD (jsou to strany čtverce/krychle), platí tento poměr o pro úsečky AD a AB:

\[\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{2}{3}\]

Celou úsečku DB, která má velikost 6, tak rozdělíme na 2 + 3 = 5 dílů, přičemž dva díly připadnou na úsečku AD a tři díly na úsečku AB. Jeden díl má velikost \(\frac{6}{5}=1,2\). Platí tak, že |AD| = 2 · 1, 2 = 2, 4 a |AB| = 3 · 1, 2 = 3, 6. Hrana krychle a je dlouhá 2,4, správná odpověď je B.

23. úloha #

Dřevěný domeček je sestaven z krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu. Délka hrany krychle je stejně dlouhá jako výška jehlanu. Domeček je vtěsnán do plechovky tvaru válce s vnitřním průměrem podstavy \(3\sqrt2\) cm.

Ilustrace k zadáníIlustrace k zadání

Jaký objem má domeček?

  • A) menší než 38,0 cm3
  • B) 38,0 cm3
  • C) 41,5 cm3
  • D) 45,0 cm3
  • E) větší než 45,0 cm3

Řešení: Vyjdeme z průměru podstavy. Průměr podstavy zároveň udává velikost úhlopříčky čtverce, který leží v podstavě. Získáváme tak čtverec, který má úhlopříčku \(3\sqrt2\) – otázka zní, jakou velikost má strana takového čtverce?

Čtverec z podstavyČtverec z podstavy

Z Pythagorovy věty musí platit, že

\[3\sqrt2=\sqrt{a^2+a^2}\]

Odmocninu na pravé straně můžeme ještě trochu lépe upravit, čímž získáme:

\begin{eqnarray} 3\sqrt2&=&\sqrt{a^2+a^2}\\ 3\sqrt2&=&\sqrt{2a^2}\\ 3\sqrt2&=&\sqrt{2}\cdot\sqrt{a^2}\\ 3\sqrt2&=&\sqrt{2}\cdot a\qquad/\cdot \frac{1}{\sqrt2}\\ 3&=&a \end{eqnarray}

Délka strany čtverce a tím pádem i celé krychle je a = 3. Objem krychle VK tak je

\[V_K=a^3=27\]

Zbývá spočítat objem jehlanu. Ten má čtvercovou podstavu, kde strana čtverce má délku a = 3 a výšky čtverce je stejná jako výška krychle, takže výška jehlanu je rovna v = 3. Dosadíme do vzorce pro výpočet objemu jehlanu:

\[V_J=\frac{S_p\cdot v}{3},\]

kde Sp je obsah podstavy. Podstava je čtvercová, takže obsah je roven a2:

\[V_J=\frac{3^2\cdot3}{3}=9\]

Tyto dílčí objemy sečteme a dostaneme objem celého domečku:

\[V=V_K+V_J=27+9=36\]

Správně odpověď tak je A.

24. úloha #

Přímka q s normálovým vektorem \(\vec{n}_q=(2;-1)\) leží v jedné rovině s přímkou p danou parametrickým vyjádřením:

\begin{eqnarray} x&=&3-2t\\ y&=&t;\,t\in \mathbb{R} \end{eqnarray}

Jaká je odchylka přímek p, q?

  • A) 0°
  • B) 30°
  • C) 45°
  • D) 60°
  • E) 90°

Známe normálový vektor přímky q, ale u přímky p máme pouze parametrické vyjádření. Abychom určili odchylku, tj. úhel, který přímky svírají, potřebujeme znát normálový vektor u obou přímek. Normálový vektor zjistíme snadno z obecné rovnice přímky, Převedeme tak parametrické vyjádření přímky na obecnou rovnici přímky a to tak, že obě rovnice sečteme a eliminujeme parametr t.

Nejprve druhou rovnici vynásobíme dvěma, čímž v této rovnici získáme 2t a to se nám pak krásně vyruší s −2t v první rovnici:

\begin{eqnarray} x&=&3-2t\\ 2y&=&2t; \end{eqnarray}

Obě rovnice nyní sečteme:

\begin{eqnarray} x+2y&=&(3-2t)+2t\\ x+2y&=&3\\ x+2y-3&=&0 \end{eqnarray}

Máme obecnou rovnici přímky p. Obecná rovnice tvaru ax + by + c = 0 má tu nádhernou vlastnost, že vektor (a, b) je normálovým vektorem této přímky, tj. každý vektor (a, b) je kolmý na tuto přímku. Takže přímka p má obecnou rovnici 1x + 2y − 3 = 0, takže má normálový vektor (1; 2).

Teď už jen zapojíme do hry skalární součin a vztah pro výpočet úhlu, který spolu svírají dva vektory:

\[\cos\alpha=\frac{\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}}{|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}},\]

kde \(\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}\) je skalární součin, jak ho spočítat je uvedeno na pravé straně rovnice. Do tohoto vzorce dosadíme naše vektory:

\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{(2;-1)\cdot(1;2)}{|(2;-1)|\cdot|(1;2)|}\\ &=&\frac{2\cdot1+(-1)\cdot2}{|(2;-1)|\cdot|(1;2)|}\\ &=&\frac{2-2}{|(2;-1)|\cdot|(1;2)|}\\ &=&\frac{0}{|(2;-1)|\cdot|(1;2)|}=0 \end{eqnarray}

Skalární součin nám vyšel nulový, celý zlomek tak vyjde nulový. Pokud skalární součin vyje nulový, svírají vektory pravý úhel. To lze vyčíst i z funkce kosinus, protože \(\cos 90^{\circ}=0\). Správná odpověď je E.

25. úloha #

ZadáníZadání

Řešení:

  • 25.1 Na první pohled vidíme, že se nejedná o lineární funkci, protože grafem není přímka. To vylučuje možnosti B a F. Dále vidíme, že funkce klesá. To vylučuje možnosti A, C, E. Zbývá možnost D.
  • 25.2 Je to lineární funkce (grafem je přímka), která má v bodě x = 4 hodnotu y = 0. Tomu odpovídá jedině možnost F.
  • 25.3 Nejedná se o lineární funkci (grafem není přímka) a funkce roste. V úvahu připadají možnosti A, C a E. Pomůžeme si tím, že v bodě x = 0 má funkce funkční hodnotu y = 1. To vylučuje možnost E, protože 02 = 0 a vylučuje to možnost C, protože logaritmus není v nule definovaný. Zbývá exponenciální funkce 2x, možnost A.
  • 25.4 Opět funkce, která není lineární a je rostoucí. Zbývají možnosti C a E. Opět si pomůžeme funkční hodnotou v bodě x = 0, která je y = 0. Logaritmus stále není v nule definovaný a pro kvadratickou funkcí x2 platí, že 02 = 0. Je to možnost E.

26. úloha #

Ze skupiny 3 děvčat a 6 chlapců se vylosuje celkem 5 dětí. Přiřaďte ke každému jevu (26.1–26.3) pravděpodobnost (A–E), s níž může nastat.

  • 26.1 Jako první je vylosována dívka.
  • 26.2 Kompletní pětici vylosovaných tvoří chlapci.
  • 26.3 V pětici vylosovaných jsou 2 děvčata a 3 chlapci.

  • A) \(\frac{1}{21}\)

  • B) \(\frac{1}{3}\)
  • C) \(\frac{5}{14}\)
  • D) \(\frac{1}{2}\)
  • E) Jiná hodnota

Řešení:

  • 26.1: Losuje se z celkem 9 dětí, z nichž 3 jsou dívky. Pravděpodobnost tak je \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\), možnost B.
  • 26.2: Protože nezáleží na pořadí, tak budeme používat kombinace. Existuje celkem \({6\choose5}\) možností, jak vybrat pět chlapců ze skupiny šesti chlapců. A existuje celkem \({9\choose5}\) jak vybrat pětičlennou skupinu z celkového počtu devíti dětí. Pravděpodobnost tak je

    \[ p=\frac{{6\choose5}}{{9\choose5}}=\frac{6}{126}=\frac{1}{21} \]

    Správná odpověď je možnost A.

  • 26.3: Vybíráme dvě děvčata ze tří a tři chlapce z šesti. To nám dává kombinační čísla \({3\choose2}\) a \(6\choose3\). Použijeme dále kombinační pravidlo součinu a získáme celkový počet kombinací, jak můžeme zmixovat dvě holky a tři chlapce. Abychom získali pravděpodobnost takového jevu, tak to už jen zase podělíme celkovým počtem všech možných pětic:

    \[ p=\frac{{3\choose2}\cdot{6\choose3}}{{9\choose5}}=\frac{3\cdot20}{126}=\frac{60}{126}=\frac{10}{21} \]

    Správná odpověď je E.