STROJIRENSTVI.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Zobrazit kapitoly článku
  1. Maturita 2013 Ilustrační test 1/3
  2. Maturita 2013 Ilustrační test 2/3
  3. Maturita 2013 Ilustrační test 3/3

11. úloha #

Dopočtěte chybějící souřadnici bodu M[x;16] grafu funkce f dané předpisem f: y = 2x.

Řešení: Pokud graf funkce prochází bodem M[x;16], tak to znamená, že funkční hodnota v bodě x je rovna 16, neboli 16 = 2x. Řešíme tak exponenciální rovnici 2x = 16.

Ta lze vyřešit poměrně jednoduše tak, že pravou stranu, číslo 16, také převedeme na nějakou mocninu dvou. Platí, že 16 = 24, takže rovnici můžeme přepsat takto:

\[2^x=2^4\]

Odtud už triviálně plyne, že x = 4.

12. úloha #

Plocha kruhové výseče tvoří 40 % plochy kruhu.

Ilustrační obrázek k zadáníIlustrační obrázek k zadání

Určete středový úhel α kruhové výseče.

Řešení: Protože kruhová výseč zabírá 40 % plochy kruhu, tak úhel má velikost 40 % ze \(360^{\circ}\), tj. \(\frac{4}{10}\cdot360^{\circ}=144^{\circ}\).

13. úloha #

Truhlář opracovával rotační válec s poloměrem podstavy 2,5 dm a výškou 2 dm. Rovnoměrným broušením zmenšil poloměr o 1 cm, výška válce byla zachována.

Vypočtěte, o kolik procent se zmenšil obsah pláště válce.

Řešení: Vypočítáme velikost pláště válce před opracováním. Převedeme všechny jednotky na centimetry, ať v tom není nepořádek. Poloměr podstavy je r = 25 cm, výška v = 20 cm. Podstava má obvod

\[o = 2\cdot\pi\cdot r=2\cdot\pi\cdot25=50\pi\,cm\]

Takže plášť má obsah

\[S=v\cdot o=20\cdot50\pi=1000\pi\,cm^2\]

Dále spočítáme obsah pláště, pokud se poloměr podstavy zmenšil o 1 cm na 24 cm.

\[o’ = 2\cdot\pi\cdot r=2\cdot\pi\cdot24=48\pi\,cm\]

Spočítáme obsah pláště:

\[S’=v\cdot o’=20\cdot48\pi=960\pi\,cm^2\]

Zbývá už jen spočítat, o kolik procent se zmenšil obsah pláště. Zmenšil se o 40 cm, otázka zní, kolik procent je 40 je 1000. To vypočítáme takto:

\[p=\frac{40}{1000}\cdot100=4\]

Obsah pláště se zmenšil o 4 %.

14. úloha #

Součet dvou přirozených čísel je o 50 % větší než jejich rozdíl. Menší z obou čísel je 15.

Určete větší z obou čísel.

Řešení: Jako první si musíme uvědomit, co znamená „být o 50 % větší“. Pokud je A o 50 % větší než B, tak to můžeme zapsat jako \(A = \frac32B\). Tři poloviny B značí právě číslo, které je o 50 % větší než B. Označme menší číslo x1 = 15 a větší číslo x2 = ?. Pak platí, že

\[(x_1+x_2) =\frac32 (x_2-x_1)\]

Nalevo máme součet, napravo rozdíl a říkáme, že součet je o 50 % větší než rozdíl. Dále osamostatníme x2:

\begin{eqnarray} (x_1+x_2) &=&\frac32 (x_2-x_1)\\ x_1+x_2 &=&\frac32x_2-\frac32x_1\qquad/\cdot2\\ 2x_1+2x_2&=&3x_2-3x_1\qquad/-2x_1\\ 2x_2&=&3x_2-5x_1\qquad/-3x_2\\ -x_2&=&-5x_1\\ x_2&=&5x_1\\ x_2&=&5\cdot15=75 \end{eqnarray}

Větší číslo je rovno x2 = 75. Můžeme si to ověřit: součet čísel je 75 + 15 = 90 a rozdíl 75 − 15 = 60. Číslo 90 je o 50 % větší než číslo 60.

15. úloha #

Vypočtěte aritmetický průměr čísel:

\[\frac{100!-2\cdot99!}{99!}\quad\mbox{a}\quad \frac{100!+101!}{100!}\]

Řešení: Než začneme počítat aritmetický průměr, tak si nejprve oba výrazy zjednodušíme. Vykřičník značí faktoriál, který se počítá takto: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Protože 4! = 4 · 3 · 2 · 1, tak platí, že zároveň 5! = 5 · 4!. Tímto způsobem můžeme upravovat faktoriály.

V prvním zlomku by se nám hodilo, aby tam nebylo 100!, ale 99!, abychom mohli později 99! vytknout a celý zlomek zkrátit. Místo 100! ale můžeme napsat 100 · 99!, pak získáme:

\begin{eqnarray} \frac{100!-2\cdot99!}{99!} &=& \frac{100\cdot99!-2\cdot99!}{99!}\\ &=&\frac{\color{red}{99!}\cdot(100-2)}{\color{red}{99!}}\\ &=&100-2=98 \end{eqnarray}

Celý první zlomek jsme zjednodušili na číslo 98. Zjednodušíme druhý zlomek. Tam by se nám zase hodilo, aby tam nebylo 101!, ale 100!. Použijeme stejný trik, protože 101! = 101 · 100!:

\begin{eqnarray} \frac{100!+101!}{100!} &=& \frac{100!+101\cdot100!}{100!}\\ &=&\frac{\color{red}{100!}\cdot(1+101)}{\color{red}{100!}}\\ &=&1+101=102 \end{eqnarray}

Druhý zlomek jsme zjednodušili na 102. Teď už vypočítáme aritmetický průměr snadno:

\[\overline{x} = \frac{98+102}{2}=\frac{200}{2}=100\]

Aritmetický průměr zlomků je 100.

16. úloha #

Paní učitelka páté třídy si u jednotlivých žáků zaznamenává zapomenuté domácí úkoly. Následující tabulka shrnuje situaci za celé pololetí.

Počet zapomenutých úkolů01234
Počet žáků32681

Např. jeden žák zapomněl za pololetí 4 domácí úkoly.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1–16.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE).

  • 16.1 Dvakrát si zapomnělo úkol 30 % žáků.
  • 16.2 Aritmetický průměr počtu zapomenutých úkolů je 2,0.
  • 16.3 Modus počtu zapomenutých úkolů je 2.
  • 16.4 Medián počtu zapomenutých úkolů je 2.

Řešení:

  • 16.1: V prvé řadě sečteme všechny žáky. Je jich celkem 3 + 2 + 6 + 8 + 1 = 20. Dvakrát si zapomnělo úkol šest žáků. Spočítáme, kolik je to procent:

    \[ \frac{6}{20}\cdot100=30 \]

    Takže ANO, dvakrát si zapomnělo úkol 20 % žáků.

  • 16.2: Vezmeme všech dvacet žáků, zjistíme, kolik každý žák zapomněl úkolů a vše sečteme. Vyjde nám celkem:

    \[ 3\cdot0+2\cdot1+6\cdot2+8\cdot3+1\cdot4=42 \]

    Dvacet žáků celkem zapomnělo 42 úkolů. Aritmetický průměr už vypočítáme snadno, vydělíme tento počet dvaceti žáky:

    \[ \overline{n}=\frac{42}{20}=2,1 \]

    Odpověď je NE.

  • 16.3 Modus je nejčastější hodnota. Žáci nejčastěji zapomínali tři úlohy – tolik úloh zapomnělo celkem osm žáků. Častější počet zapomenutých úkolů neexistuje. Správná odpověď je NE.

  • 16.4: Pokud všechny zapomenuté úkoly seřadíme od nejmenšího po největší, tak medián představuje prostředí z těchto hodnot. Například pokud bychom měli pět čísel 1, 1, 2, 5, 16, tak by medián byl roven dvěma, prostřední hodnotě. Zatímco průměr by byl roven 5.

    Drobným technickým problémem je, že v našem zadání máme 20 žáků, což je sudý počet. Tam není jednoznačné, které číslo vzít. Když si to představíme a vezmeme čtyři čísla 1, 1, 2, 5, tak tam není žádné číslo „uprostřed“. Většinou se tak bere průměr obou prostředích čísel, tj. průměr čísel 1 a 2, tedy 1, 5.

    Seřadíme všechny počty zapomenutých úkolů:

    \(0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, \color{red}{2, 2}, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4\)

    Červeně zvýrazněné jsou dvě čísla uprostřed. Obě čísla jsou shodou šťastných okolností stejná, takže můžeme říci, že medián je roven dvěma. Správná odpověď tak je ANO.

17. úloha #

Který z uvedených vztahů je odvozen ze vzorce \(v=\frac{2s}{t_1+t_2}\)?

  • A) \(\large s=\frac{2v}{t_1+t_2}\)
  • B) \(\large s=\frac{2(t_1+t_2)}{v}\)
  • C) \(\large s=\frac{v(t_1+t_2)}{2}\)
  • D) \(\large s=\frac{t_1+t_2}{2v}\)
  • E) \(\large s=\frac{v}{2(t_1+t_2)}\)

Řešení: Z původní rovnice v zadání osamostatníme s. Budeme postupně upravovat rovnici pomocí ekvivalentních úprav, až nám na jedné straně zůstane jen s.

\begin{eqnarray} v&=&\frac{2s}{t_1+t_2}\qquad/\cdot(t_1+t_2)\\ v(t_1+t_2)&=&2s\qquad/\cdot\frac12\\ \frac{v(t_1+t_2)}{2}&=&s \end{eqnarray}

Správná odpověď tak je C.

18. úloha #

Čtyři osoby složí náklad obsahující 240 beden o hodinu dříve, než kdyby jej při stejném pracovním tempu skládaly tři osoby.

Za kolik hodin by celý náklad složily 4 osoby?

  • A) za 2 hodiny
  • B) za 3 hodiny
  • C) za 4 hodiny
  • D) za 5 hodin
  • E) za jiný počet hodin

Řešení: Toto je trochu složitější úloha na společnou práci. Označme x počet hodin, za který jedna osoba složí 240 beden. Pokud jedna osoba složí 240 beden za x hodin, pak čtyři osoby složí 240 beden za \(\frac{x}{4}\) hodin. Stejně tak u tří osob. To můžeme dát do rovnice:

\[\frac{x}{4}+1=\frac{x}{3}\]

Na levé straně jsme museli ještě přičíst tu jednu hodinu, o kterou jsou čtyři osoby rychlejší. Nyní jen osamostatníme x:

\begin{eqnarray} \frac{x}{4}+1&=&\frac{x}{3}\qquad/\cdot3\cdot4\\ 3x+12&=&4x\\ -x&=&-12\\ x&=&12 \end{eqnarray}

Jedna osoba složí 240 beden za 12 hodin, čtyři osoby složí bedny za \(\frac{12}{4}=3\) hodiny. Správná odpověď je B.

19. úloha #

Pan Novák vložil jednorázově na spořicí účet 100 000 korun. Na konci prvního, druhého i třetího roku částka na účtu vzrostla o čistý úrok ve výši 3 % a na konci každého z následujících let o čistý úrok ve výši 2 %. Úrok se počítá z částky na účtu v daném roce.

Kolik korun (zaokrouhleno na tisíce) přibylo panu Novákovi na účtu během prvních 6 let spoření?

  • A) 13 000 korun
  • B) 15 000 korun
  • C) 16 000 korun
  • D) 30 000 korun
  • E) 35 000 korun

Řešení: Pokud vzroste částka o \(x\,\%\), je to stejné, jako kdybychom danou částku vynásobili (1 + 0, 01 · x). Např. růst o 8 % u částky 1000 Kč bychom vypočítali jako 1000 · (1 + 0, 01 · 8), což by bylo 1000 · 1, 08 = 1080.

V zadání máme růst o 3 %. Což je samo o sobě zajímavé, takto vysoký úrok toho času žádná banka nenabízela. Jestli budete mít čas, zeptejte se autorů maturit, kde pan Novák tento spořicí účet našel :-).

Zpět k příkladu – růst o 3 % znamená násobení číslem 1,03. Takže po prvním roce měl pan Novák na účet 100 000 · 1, 03 = 103 000 korun. Další rok se účet úročil stejným úrokem, takže provedeme stejný součin, ale jako základ zůstává 103 000. Počítáme tak 103 000 · 1, 03 = 106 090. Můžeme tak zkráceně napsat, že po druhém roku měl pan Novák na účtě

\[(100\,000\cdot1,03)\cdot1,03\]

A to můžeme ještě dále zkrátit takto:

\[100\,000\cdot1,03^2\]

Nás zajímá situace za šest let. Po tři roky zůstává úrok \(3 \%\), poté se sníží na \(2 \%\). Po šesti letech tak pan Novák má

\[(((((100\,000\cdot1,03)\cdot1,03)\cdot1,03)\cdot1,02)\cdot1,02)\cdot1,02\mbox{ korun.}\]

Zkráceně:

\[100\,000\cdot1,03^3\cdot1,02^3\]

Výsledek je přibližně 115 961 korun, což po zaokrouhlení na tisíce dává 116 000 korun. Pan Novák je tak bohatší o 16 000 korun, správná odpověď je C.

20. úloha #

Podkladem pro okenní vitráže jsou trojúhelníkové sítě vytvořené ze shodných rovnostranných trojúhelníků. Dvě zobrazené sítě mají v nejdelší dolní řadě 7 a 9 trojúhelníků a celkem obsahují 16 a 25 trojúhelníků.

Ilustrace k zadáníIlustrace k zadání

Kolik trojúhelníků obsahuje obdobně sestavená síť s 31 trojúhelníky v nejdelší řadě?

  • A) méně než 225
  • B) 225
  • C) 256
  • D) 289
  • E) více než 289

Řešení: Odvodíme si, kolik trojúhelníčků má trojúhelník v závislosti na výšce. Výškou Snadno vidíme, že že v každé další řadě jsou o dva trojúhelníky více než v předchozí a v první řadě je jeden trojúhelník. To znamená, že v druhé jsou 3 trojúhelníky, ve třetí 5 trojúhelníků, ve čtvrté 7 trojúhelníků atd.

V i-té řadě tak má trojúhelník (i − 1) · 2 + 1 trojúhelníčků. Pro i = 3, pro třetí řadu, nám vychází (3 − 1) · 2 + 1, což je 2 · 2 + 1 = 5 trojúhelníků, to je správně. Dále zjistíme, jak vysoký je trojúhelník, pokud má poslední řada 31 trojúhelníčků. Řešíme tak rovnici:

\[(i-1)\cdot2+1 = 31\]

a hledáme hodnotu i, pro kterou to platí. Osamostatníme i:

\begin{eqnarray} (i-1)\cdot2+1 &=& 31\\ 2i-2+1 &=& 31\\ 2i &=& 32\\ i &=& 16 \end{eqnarray}

31 čtverečků má 16. řada. Nyní už jen musíme spočítat, kolik celkem trojúhelníčků má trojúhelník o výšce 16 řad. Máme tak sečíst posloupnost

\[1, 3, 5, \ldots, 29, 31\]

To je aritmetická posloupnost a můžeme využít vzorce pro sečtení prvních n členů aritmetické posloupnosti:

\[S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2},\]

kde n je počet členů, které chceme sečíst. Trojúhelník má 16 řad, takže chceme sečíst n = 16 členů. Dosadíme do vzorce:

\[S_{16}=16\cdot \frac{1+31}{2}=256\]

Trojúhelník má 256 trojúhelníčků. Správná odpověď je C.