Elipsa
Elipsa je kuželosečka. Základní vlastností elipsy je, že každý bod elipsy má od daných dvou bodů v rovině stejný součet vzdáleností. Těmto bodům se říká ohniska.
Jak vypadá elipsa #
Mějme dány dva body – E a F, ohniska elipsy e. Pak pro každý bod X elipsy e musí platit, že
kde K je nějaké konstantní číslo. Toto číslo je tak pro všechny body elipsy stejné. V případě, že E = F, dostáváme kružnici a platí, že |XE|+|XF| se rovná průměru kružnice (neboli |XE| musí být poloměr kružnice). Obrázek elipsy:
Stejný součet vzdáleností od ohnisek pak znamená, že součet |EK|+|FK| musí být stejný jako součet |EL|+|FL| a stejně tak pro všechny ostatní body, které jsou na elipse.
Popis a vlastnosti elipsy #
- Elipsa má dvě ohniska, označme je E a F.
- Elipsa obsahuje dva hlavní vrcholy, A a B a dva vedlejší vrcholy, C a D.
- Střed elipsy, na obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohnisky.
- Přímka, která prochází hlavními vrcholy (a také ohnisky), se nazývá hlavní osa elipsy, přímka která prochází vedlejšími vrcholy se nazývá vedlejší osa elipsy.
- Úsečka, která spojuje libovolný hlavní bod a střed elipsy, se nazývá hlavní poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky AS a BS.
- Úsečka, která spojuje libovolný vedlejší bod a střed elipsy, se nazývá vedlejší poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky CS a DS.
- Konstanta K, která je rovna součtu délek spojnic bodu elipsy s ohnisky, je rovna délce úsečky AB. To je hezky vidět, pokud chceme vypočítat součet pro bod B. Pro bod platí, že součet má tvar: |FB|+|EB|. Úsečka EB nám pokryje téměř celou úsečku AB a zbylá část, úsečka AE je stejně dlouhá jako úsečka FB. Proto |FB|+|EB| = |AB|.
Excentricita elipsy #
Další důležitou konstantou v elipse je excentricita, značíme e, neboli výstřednost. Excentricita je rovna vzdálenosti ohnisek od středu elipsy, tedy e = |ES| = |FS|. Jak můžeme excentricity vypočítat? Nejdříve zjistíme, čemu je rovna vzdálenost |ED| a |FD|.
Víme, že součet K je roven délce |AB|. Přitom je z obrázku patrné, že úsečky ED a FE budou stejně dlouhé, protože přímka CD je osou elipsy. Délka obou úseček tak bude rovna polovině délky |AB|, což je délka hlavní poloosy elipsy. Pokud označíme délku hlavní poloosy jako a a délku vedlejší poloosy jako b, dostaneme obrázek:
Excentricitu už pak můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako
Čím je elipsa více podobná kružnici, tj. čím méně zploštělá je, tím menší má excentricitu.
Rovnice elipsy #
Jakým způsobem odvodíme rovnici elipsy? Jako první potřebujeme nějakou hezkou elipsu, takže zvolíme elipsu, jejíž hlavní a vedlejší osa jsou rovnoběžné s osami x a y a střed elipsy se nachází v počátku souřadnicového systému, tj. má souřadnice [0, 0]. Taková elipsa vypadá například takto:
Otázkou zní, jak obecně vyjádřit bod X, který je na obrázku vyznačen modrou barvou. Víme, že z definice elipsy musí platit:
Protože délka úsečky AB je rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy a, můžeme napsat:
Dále musíme nějak vyjádřit délku úseček EX a FX. Začneme s úsečkou FX. Dokreslíme do obrázku další dvě úsečky tak, aby nám vznikl pravoúhlý trojúhelník.
Bod X má souřadnice [x, y], takže délku úsečky PX je rovna y-ové souřadnici bodu X, tedy |PX| = y. Délka PF je rovna |e − x|. Podle Pythagorovy věty pak musí platit:
Podobně, jako jsme vyjádřili |FX| vyjádříme i |EX|. Délka PX bude stejná, opět y a délka PE se bude rovnat x + e. Dostáváme:
Tyto nové výrazy dosadíme do předchozí rovnice:
Teď by následovala velká hromada úprav, až byste nakonec dostali tento hezký tvar:
Tato rovnice nicméně počítá s elipsou o středu v počátku. Abychom získali obecnější rovnici, musíme do rovnice započítat i souřadnice středu elipsy. Elipsa o středu v bodě [m, n] má rovnici:
Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x:
Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou y:
Příklad: abyste věřili, že rovnice skutečně funguje, zkusíme si do ní dosadit bod X z obrázku. Pro obrázek platí a = 5, b = 4 a X = [2, 31; 3, 55] (souřadnice bodu jsou zaokrouhlené, výsledek nakonec také musíme zaokrouhlit). Dosazením do levé části rovnice získáme:
Získali jsme tak rovnost 1 = 1.