Diskriminant

Zobrazit kapitoly článku

Diskriminant je polynom, pomocí něhož můžeme vypočítat řešení obecné kvadratické rovnice, případně určit, zda rovnice má řešení a kolik takových řešení má.

Vzorec a základní vztahy #

Nejprve si zopakujeme základní tvar kvadratické rovnice:

\[ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0\]

kde a, b, c jsou reálná čísla. Diskriminant, označme ho D, vypočteme takto:

\[D=b^2-4\cdot a\cdot c\]

Příklad: mějme kvadratickou rovnici 3x² + 5x − 7 = 0. Pro tuto rovnici platí: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminant vypočítáme takto:

\[D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109\]

Výsledek je tedy 109. Co nám toto číslo říká? Pokud vyjde diskriminant…

kladný, pak má rovnice dva různé reálné kořeny,
nulový, pak má rovnice dva stejné reálné kořeny,
záporný, pak rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení. Nicméně má řešení v oboru komplexních čísel.

Jak vypočítat kořeny kvadratické rovnice #

Pomocí diskriminantu můžeme vypočítat přímo kořeny kvadratické rovnice. Vzorec pro výpočet kořenů zní takto:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\]

kde D je diskriminant. Celý vzorec s rozepsaným diskriminantem vypadá takto:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Zkusíme si pomocí tohoto vzorce vypočítat kořeny kvadratické rovnice x² + 7x + 12 = 0. Jako první spočítáme diskriminant:

\[D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.\]

Diskriminant vyšel kladný, rovnice tak má dva různé reálné kořeny. Spočítáme první kořen. Jako první budeme přičítat odmocninu z diskriminantu, v druhém kroku budeme odmocninu odečítat:

\[x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.\]

První kořen nám vyšel −3. Druhý kořen spočítáme odečtením odmocniny:

\[x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.\]

Nyní už máme oba kořeny rovnice, x₁ = −3 a x₂ = −4.

Pro zvládnutí tohoto postupu je nezbytně nutné, abyste uměli správně určit hodnoty a, b a c. Jak je správně určit bylo popsáno v prvním článku o kvadratických rovnicích.

A co toto řešení znamená graficky, jak se projeví v grafu? Pokud si nakreslíme graf funkce, která je na levé straně rovnice, pak zjistíme, že graf této kvadratické funkce protíná osu x ve dvou bodech – v bodech x₁ = −3 a x₂ = −4.

Graf funkce y = x² + 7x + 12

Nulový diskriminant #

Pokud vyjde diskriminant nula, pak to znamená, že rovnice má řešení, ale pouze jedno; respektive dvě, ale stejné. Příklad: vyřešte rovnici x² − 10x + 25 = 0. Spočítáme diskriminant:

\[D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.\]

Kořen dopočítáme stejně jako v minulé kapitole, pomocí vzorce. Ale protože je diskriminant nulový, zmizí nám z vzorce plus/minus odmocnina z D, protože bychom přičítali/odečítali nulu.

\[x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.\]

Vyšel nám jeden dvojnásobný kořen, x = 5. Co to znamená graficky? Že graf dané funkce se osy x dotýká v právě jednom bodě, ve svém vrcholu.

Graf funkce y = x² − 10x + 25

Záporný diskriminant #

Pokud nám vychází diskriminant záporný, pak kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Rovnici můžeme řešit v oboru komplexních čísel, ale o tom bude až další článek. Pro příklad si zkusíme vyřešit tuto kvadratickou rovnici: x² + x+1 = 0. Diskriminant:

\[D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.\]

Kvadratická rovnice tak nemá řešení v oboru reálných číslech. Můžete si to zkusit – polynom x² + x+1 bude kladný pro všechna reálná čísla. Například pokud za x dosadíte jedničku, dostáváte: 1 + 1+1 = 3. Pokud x = −1, pak máme 1 − 1+1 = 1. Pokud x = 0, máme 0 + 0+1 = 1. A podobně pro další čísla. Můžete si také prohlédnout graf funkce y = x² + x+1, nikdy neprotne osu x.

Graf funkce y = x² + x+1

Vietovy vzorce #

Už víme, jak vypočítat řešení kvadratické rovnice. Jaký je ale mezi nimi vztah? Zkusíme obě řešení x₁ a x₂ sečíst:

\[\begin{eqnarray}x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\&=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\&=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{eqnarray}\]

Sečteme-li kořeny kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0, získáme podíl −b/a. Co se stane, pokud kořeny vynásobíme?

\[\begin{eqnarray}x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\&=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\&=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\&=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{eqnarray}\]

Takže pokud kořeny vynásobíme, získáme číslo c/a. A toto jsou Vietovy vzorce. Ještě jednou pohromadě:

\[\begin{eqnarray}x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a}\end{eqnarray}\]

Všimněte si, že ve jmenovateli zlomku je vždy výraz a. Speciálním případem je pak kvadratická rovnice, pro kterou platí a = 1. Pak můžeme Vietovy vzorce napsat takto:

\[\begin{eqnarray}\mbox{pokud } a=1:\\x_1+x_2&=&-b\\x_1\cdot x_2&=&c\end{eqnarray}\]

Toho můžeme využít při hledání řešení kvadratických rovnic. Než abychom složitě počítali diskriminant, můžeme se podívat, jestli jsme schopni nalézt taková čísla x₁ a x₂, aby platily výše uvedené vztahy. Příklad: nalezněte řešení rovnice x² + 8x + 15 = 0. Platí, že a = 1, takže můžeme použít jednodušší Vietovy vzorce. Hledáme čísla x₁ a x₂ tak, aby platilo:

\[\begin{eqnarray}x_1+x_2&=&-8\\x_1\cdot x_2&=&15\end{eqnarray}\]

Pokud se omezíme jen na celá čísla, tak máme celkem čtyři možnosti, jak při součinu dostat 15:

\[\begin{eqnarray}1\cdot15&=&15\\3\cdot5&=&15\\-3\cdot(-5)&=&15\\-1\cdot(-15)&=&15\end{eqnarray}\]

Nyní potřebujeme, aby nám součet čísel na pravé straně dal −8. Pouze jediná dvojice takový součet dá, a to −3 a −5. Tato čísla jsou tak řešením kvadratické rovnice. Můžeme si je zkusit dosadit do rovnice, musí nám vyjít nula:

\[\begin{eqnarray}(x=-3):\quad &&(-3)^2-8\cdot3+15=9-24+15=0\\(x=-5):\quad &&(-5)^2-8\cdot5+15=25-40+15=0\end{eqnarray}\]

Sedí. Pokud znáte kořeny, můžete také rovnici zapsat v čitelnějším tvaru. Jsou-li x₁ a x₂ kořeny rovnice ax² + bx + c = 0, pak pokud a = 1, můžete rovnici přepsat do tvaru

\[(x-x_1)(x-x_2)=0.\]

Předchozí rovnici tak můžeme přepsat do tvaru:

\[(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.\]

Odkazy #

« Předchozí: Základní kvadratická rovnice

Další: Parametrická kvadratická rovnice »