Vzorce pro práci s derivacemi
Několik užitečných vzorců pro počítání derivací funkcí.
Základní vzorce #
Základní vzorce, které použijete téměř při každém výpočtu derivace funkce. V prvním sloupečku je původní funkce, v druhém derivace funkce. Předpokládáme, že derivujeme podle x a že je c konstanta.
\[\begin{eqnarray}c^\prime&=&0\\x^\prime&=&1\\(x^c)^\prime&=&cx^{c-1}\end{eqnarray}\]
Sčítání, násobení a dělení #
Předpokládejme, že f(x) resp. f a g(x) resp. g jsou nějaké funkce. Pak můžeme napsat:
\[\begin{eqnarray}(f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\(c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\(f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\\left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\\end{eqnarray}\]
Speciálně pak máme derivaci složené funkce:
\[\begin{eqnarray}(f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\end{eqnarray}\]
Logaritmy a exponenciální funkce #
\[\begin{eqnarray}(c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\(e^x)^\prime&=&e^x\\(\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne0\\(\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x}\end{eqnarray}\]
Goniometrické funkce #
\[\begin{eqnarray}(\sin x)^\prime&=&\cos x\\(\cos x)^\prime&=&-\sin x\\(\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\(\mbox{cotan}\,x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\(\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\(\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\(\arctan x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\(\mbox{arccotan}\, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\\end{eqnarray}\]