Dělení čísel

Dělení čísel je opačný proces k násobení čísel. Zároveň je dělení dobrým zdrojem humoru, protože, jak každý ví, nemůžeme dělit nulou, neboť by nám shořel sešit.

Co je to dělení čísel #

Dělení si můžeme představit na příkladě rozdělení nějakého velkého celku na stejně velké menší dílky. Můžeme mít tatínka, který potřebuje rozřezat desku o délce 100 cm na pět stejně velkých dílů. Jak velké jednotlivé díly budou?

Můžeme postupovat naopak – pokud sečteme délky všech pěti uřezaných částí, musí nám vyjít zpátky číslo 100. Jaké číslo to splňuje? Je to číslo 20, protože 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Místo sčítání můžeme použít i násobení. Můžeme se zeptat, jaké číslo po vynásobení pěti dá sto? Opět číslo 20, protože 5 · 20 = 100.

Graficky bychom to mohli vyjádřit jako rozdělení úsečky o délce 100 na pět stejně dlouhých částí:

Úsečka rozdělená na pět stejně dlouhých částí

Pokud chceme vydělit číslo 100 číslem 5, zjišťujeme, „kolikrát se číslo pět vleze do čísla sto“. Dělení zapisujeme bud pomocí lomítka: 100 / 5 nebo pomocí dvojtečky: 100 : 5. Výsledkem dělení dvou čísel je podíl. V našich příkladech je číslo 20 podíl čísel 100 a 5. Číslo nalevo se nazývá dělenec, číslo napravo dělitel. Dělení můžeme také zapsat pomocí zlomku, místo 100 / 5 můžeme napsat \(\frac{100}{5}\). Shrnutí názvosloví:

• a se nazývá dělenec,
• b se nazývá dělitel,
• c se nazývá podíl.

Definice pomocí násobení #

Podíl můžeme nejjednodušeji definovat pomocí násobení. Pro příklad si vezmeme podíl těchto čísel: 35 / 7. Jaký bude výsledek? My hledáme takové číslo, které když vynásobíme 7, tak získáme číslo 35. Kdybychom dělili 48 / 8, tak bychom hledali takové číslo, které by po vynásobení 8 dalo číslo 48.

Výsledkem 35 / 7 je tak číslo 5, protože 7 · 5 = 35. Výsledkem 48 / 8 je číslo 6, protože 8 · 6 = 48.

Pokud obecně dělíme a / b, pak výsledkem je číslo c, pro které platí b · c = a.

Ačkoliv jsme si všechny příklady ukazovali na přirozených číslech, tak díky definici pomocí násobení můžeme dělit i jakákoliv jiná čísla. Můžeme například najít podíl −85, 76 / 6, 7 tak, že najdeme číslo x, pro které platí 6, 7 · x = −85, 76. To platí pro x = −12, 8.

Nulu můžeme podělit jiným číslem #

Nulu můžeme podělit nějakým číslem, toto je platný výraz: 0 / 15. V podstatě tím říkáme, že chceme nulu rozdělit na 15 stejných částí. Můžeme si to představit tak, že nemáme žádný koláč a tento koláč, který nemáme, chceme rozdělit na 15 částí – jak velké budou jednotlivé části? Budou nulové, protože žádný koláč zkrátka nemáme. Případně si představte, že máte v peněžence nula korun a že chcete těchto nula korun rozdělit mezi tři děti. Kolik každé dítě dostane? Dostane kulové, protože zkrátka nic nemáte. Proto 0 / 15 = 0.

Dělit nulu jiným číslem můžeme, ale nemůžeme jiné číslo dělit nulou. Tento výraz je neplatný: 8 / 0.

Proč ale nemůžeme dělit nulou? #

Dělit nulou nemůžeme, protože nám to zakazuje jedenácté přikázání.

Ale existují i pádnější důvody. Zatím se budeme zajímat o případ, kdy je dělenec různý od nuly – dělení je ve tvaru a / 0, kde \(a \ne 0\). Vyjmenujeme si dva důvody:

1. Zkusme zůstat u analogie s rozdělením celku do menších, stejně velkých, částí. Máme 15, těch nejkrutějších, Pokémonů. Nyní je chceme rozdělit mezi nula dětí. Kolik každé dítě dostane Pokémonů?

Eh???

Ano, to zadání čtete správně a ano, nedává smysl. Nemůžeme se ptát, kolik Pokémonů dostalo každé dítě, když jsme neměli žádné dítě, kterému bychom ty Pokémony dali. Proto ani dělení nulou nedává smysl a proto říkáme, že výraz x / 0 je nedefinovaný.

• Dělení jsme si zavedli pomocí násobení. Když se pokoušíme dělit nulou 15 / 0, tak hledáme nějaké číslo x, pro které platí x · 0 = 15. Jenomže cokoliv krát nula je nula, nikdy nenajdeme x, pro které by tato rovnice měla smysl.

A co podíl 0/0? #

Ten je nedefinovaný stejně jako x / 0. Důvody:

Tentokrát máme nula nejkrutějších Pokémonů, které chceme rozdělit mezi nula dětí. To je opět nesmyslný požadavek.

Dle definice dělení, když dělíme 0 / 0, tak hledáme takové číslo x, pro které platí x · 0 = 0. Řešení bychom našli, či přesněji: jakékoliv reálné číslo je řešením této rovnice. Ať už za x dosadíme 4, 1 nebo π, tak bude rovnice splněna. Samozřejmě je nepřípustné, aby výsledkem dělení byla celá množina reálných čísel, to nemá smysl.

Museli bychom z celé množiny vybrat jedno konkrétní číslo a říci, že právě toto číslo je výsledkem dělení 0 / 0. Jenže jaké? Mělo by se to rovnat jedné? Osmi? Nule? Minus jedné? A proč? Zkusíme si uvést argumenty pro nulu a pro jedničku:

1. Víme, že pokud máme zlomek ve tvaru x / x, pak je tento zlomek roven jedné. Například 7 / 7 = 1 nebo 3 / 3 = 1. Odtud bychom mohli odvodit, že 0 / 0 bychom měli definovat tak, aby platilo 0 / 0 = 1.
2. Podívejme se na tuto posloupnost jistě platných zlomků. V každém z nich budeme nulu dělit číslem, které se stále více a více blíží nule:

Vidíme, že ať dělíme číslem jakkoliv blízkým k nule, tak stále získáváme jako výsledek podílu nulu. Z toho bychom mohli odvodit, že 0 / 0 = 0.

Toto jsou oba platné argumenty, jak bychom mohli podíl 0 / 0 definovat. Jenže který z nich je lepší? Nakonec, i kdybychom jeden z nich zvolili a prohlásili za jediný platný, stejně bychom došli ke sporu s jinými částmi matematiky.

Proto je dělení nulou raději ponecháno jako nedefinované.

Finální argument proti dělení nulou #

Pokud by vám předchozí argumenty nestačily, tak vás snad přesvědčí následující fotodokumentace případu, kdy se někdo opravdu pokoušel dělit nulou:

Pan XY se pokoušel dělit nulou