Báze vektorového prostoru
Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineárním obalem je prostor V.
Motivace zavedení báze vektorového prostoru #
Mějme nějaký vektorový prostor V a nějakou podmnožinu \(W \subset V\) takovou, že lineární obal \(\left< W\right>\) této množiny je roven prostoru V, tedy \(\left< W\right> = V\). Příklad: nechť W = {[1, 0], [0, 1], [2, 3]} a \(V = \mathbb{R}^2\).
Zřejmě platí, že \(\left< W\right> = \mathbb{R}^2\). Množina W má pouze tři vektory, přesto s ní jsme schopni, díky lineárnímu obalu, popsat celou nekonečnou množinu vektorů \(\mathbb{R}^2\). Nabízí se otázka – můžeme z množiny W odebrat ještě nějaké vektory a přitom zachovat vlastnost \(\left< W\right>=\mathbb{R}^2\)?
Pokud bychom například vyhodili poslední vektor [2, 3], získali bychom množinu W1 = {[1, 0], [0, 1]}. Lineárním obalem této množiny je opět \(\mathbb{R}^2\). Nabízí se tak otázka – jaká nejmenší množina vektorů má jako svůj lineární obal množinu \(\mathbb{R}^2\)?
Pokud bychom z W1 odstranili jakýkoliv ze dvou zbývajících vektorů, již by tato množina, označme ji W2, neměla jako svůj obal množinu \(\mathbb{R}^2\). Např. lineárním obalem množiny W2 = {[1, 0]} by byla množina \(\left< W_2\right>=\left\{\left[a,0\right]\,|\,a\in \mathbb{R}\right\}\). To jistě není rovné množině \(\mathbb{R}^2\), chybí tam kupříkladu vektor [0, 1].
Množina W1 = {[1, 0], [0, 1]} je tak minimální množina vektorů, jejíž lineárním obalem je prostor \(\mathbb{R}^2\). Dále nás mohou zajímat další otázky:
- Existuje nějaká úplně jiná jednoprvková množina, jejíž lineárním obalem by byl prostor \(\mathbb{R}^2\)?
- Existuje nějaká unikátní nejmenší množina vektorů, jejíž lineárním obalem by byl prostor \(\mathbb{R}^2\)?
Jak všichni víme z bulváru, pokud je titulek novin ve tvaru otázky, tak odpověď zní ne a v tomto případě to je stejné. Neexistuje jednoprvková množina, která by měla lineární obal \(\mathbb{R}^2\). Důkaz můžeme provést takto:
Existuje jednoprvková množina, jejíž obalem je \(\mathbb{R}^2\)? #
Předpokládejme, že existuje množina {x} obsahující jeden vektor x, jehož všechny lineární kombinace tvoří prostor \(\mathbb{R}^2\). Pak musí existovat reálná čísla a1, a2 taková, že
Proč zrovna tyto vektory? Je to vcelku jedno, jaké vektory zvolíme, jde jen o to, ať jsou lineárně nezávislé.
Označme x = [x1, x2]. Pak jistě x1, x2 ≠ 0, protože pokud by x1 = 0, pak bychom těžko získali nějakou lineární kombinací vektoru x chtěný vektor [1, 0]. Totéž pro x2. Předchozí soustavu rovnic jen rozepíšeme:
To rozepíšeme do rovnic:
Z druhé a třetí rovnice vyplývá, že a1 = a2 = 0, protože pokud x1, x2 ≠ 0, pak zbývá jen možnost, že a1 = a2 = 0, abychom v součinu a1 · x1 získali nulu. Což je ale ve sporu s první a čtvrtou rovnicí, protože pokud a1 = 0, pak a1 · x1 = 0, ale první rovnice říká, že a1 · x1 = 1.
Žádná jednobodová množina tak nemůže mít jako svůj lineární obal prostor \(\mathbb{R}^2\).
Existuje nejmenší množina vektorů, jejíž obalem je \(\mathbb{R}^2\)? #
Víme, že neexistuje jednobodová množina s touto vlastností a víme, že množina W = {[1, 0], [0, 1]} má jako svůj lineární obal \(\mathbb{R}^2\). Ptáme se tak, jestli je tato množina jediná dvouprvková množina, která má za svůj obal \(\mathbb{R}^2\)?
Samozřejmě, že není, protože i jiná dvouprvková množina W = {[2, 0], [0, 2]} má obal \(\mathbb{R}^2\). Jakákoliv dvojice vektorů [a, 0], [0, a], \(a\in \mathbb{R}, a\ne0\) má jako svůj obal \(\mathbb{R}^2\). Ve skutečnosti jakákoliv dvojice lineárně nezávislých vektorů má jako svůj obal \(\mathbb{R}^2\). Existuje tak nekonečně mnoho dvoubodových množin, které mohou svým obalem generovat \(\mathbb{R}^2\).
Zároveň platí, že jakákoliv tříprvková podmnožina \(W_3\subseteq\mathbb{R}^2\) bude tvořena závislými vektory. Proč? Pokud máme tři vektory [a, b], [c, d], [e, f], můžeme je zapsat do matice:
Tato matice má hodnost nejvýše dva, musí tam tak nutně existovat nějaký lineárně závislý sloupec/vektor.
Definice báze vektorového prostoru #
Mějme vektorový prostor V. Dále nechť \(B \subseteq V\). Řekneme, že B je báze vektorového prostoru V, pokud platí:
- \(\left< B\right> = V\)
- B je lineárně nezávislá množina vektorů.
Báze je nezávislá množina vektorů, jejíž obalem je prostor V. Báze tak představuje minimální množinu vektorů, jejíž obalem je prostor V. Platí, že pokud bychom z báze jeden prvek odebrali, obalem by už nebyl prostor V. Pokud bychom jeden vektor přidali, byl by tento vektor lineární kombinací ostatních vektorů.
Pokud se pohybujeme v prostoru \(\mathbb{R}^n\), tak platí, že množina n-tic [1, 0, …, 0], [0, 1, 0, …, 0], …, [0, 0, …, 0, 1] tvoří bázi prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tato báze se nazývá standardní báze. Např. pro \(\mathbb{R}^3\) bychom získali standardní bázi [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Přitom by pak platilo, že vektor [a, b, c] bychom získali jako kombinaci
Pokud bychom odstranili vektor [0, 1, 0], nebyl by obalem této nové množiny \(\mathbb{R}^3\). Pokud bychom přidali vektor [14, −2, 5], byl by tento vektor lineární kombinací ostatních vektorů s koeficienty a = 14, b = −2, c = 5.
Základní vlastnosti báze vektorového prostoru #
Každý lineární prostor V má bázi s výjimkou triviálního prostoru {0} – prostoru, který obsahuje jediný, nulový vektor. Každá lineárně nezávislá množina \(B_0 \subseteq V\) je buď báze prostoru V, nebo lze na bázi doplnit. Pokud B0 není báze, tj. \(\left< B_0\right>\ne V\), pak existuje vektor \(\mathbf{x}_0\in V \setminus \left< B_0\right>\). Tento vektor není kombinací vektorů z B0. Přidáme ho do množiny B0, získáme novou množinu \(B_1 = B_0 \cup \left\{\mathbf{x}_0\right\}\). Opět můžeme říci, že B1 je buď báze, nebo lze na bázi doplnit. Má-li prostor V konečnou bázi, pak v konečném množství kroků získáme množinu nezávislých vektorů Bn, která bude bází prostoru V.
Báze prostoru není určena jednoznačně, vždy existuje více bází.
Všechny báze vektorového prostoru mají stejný počet prvků/vektorů nebo jsou nekonečné. Například všechny báze prostoru \(\mathbb{R}^2\) mají dva vektory, žádná množina o třech prvcích ani množina o jednom prvku není bází prostoru \(\mathbb{R}^2\).
Máme-li bázi B = {e1, …, en} prostoru V, pak platí, že každý vektor x z prostoru V jsme schopni vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z báze, tj. existují reálné koeficienty a1, …, an takové, že
\[ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n \]Přitom platí, že tyto koeficienty jsou jednoznačné. Tj. pokud by pro koeficienty b1, … bn platilo, že
\[ \mathbf{x}=b_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{e}_n \]tak to musí znamenat, že a1 = b1, …, an = bn.