Obsah kruhu

Pro výpočet obsahu kruhu potřebujete znát jeho poloměr (nebo průměr, což je dvojnásobek poloměru).

Jaký je vzorec pro obsah kruhu?

• je obsah kruhu v jednotkách čtverečních (například )
• je konstanta, jejíž hodnota je přibližně 3,14
• je poloměr kruhu v jednotkách délky (například )

Jak vypočítat obsah kruhu?

1. Změřte nebo zjistěte, jaký je poloměr kruhu.
2. Umocněte poloměr na druhou (tj. vynásobte jej sebou samým).
3. Výsledek vynásobte konstantou .

Příklad výpočtu obsahu kruhu

Vypočítejte obsah kruhu, jehož průměr .

Jelikož v zadání není poloměr, ale průměr, spočítáme nejprve délku poloměru, což je polovina průměru:

Dosadíme do vzorce pro výpočet kruhu:

Intuitivní odvození vzorce pro obsah kruhu

Možná si lámete hlavu nad tím, jak se dá k takovému vzorci dospět, co vlastně vzorec pro výpočet obsahu kruhu znamená. Klíčové pro jeho pochopení je zde Ludolfovo číslo , které získáváme jako poměr obvodu kruhu k jeho průměru.

Intuitivní odvození vzorce pro obsah kruhu pak můžeme získat tak, že celý kruh rozřežeme na množství trojúhelníkových výsečí (jako plátky pizzy) a tyto výseče poskládáme jednu za druhou do tvaru kosodélníku, jehož horní a dolní část bude tvořena základnami těchto výsečí prostřídaných cik-cak na výšku.

Poznámka: Čím víckrát takto kruh pomyslně rozřežete, tím přesnější by byl váš výpočet obsahu kruhu vypočítaný jako součet obsahů všech těchto trojúhelníků.

Výška kosodélníku je rovna .

Jeho délku odvodíme logicky: Jelikož jsou výseče jedna za druhou na výšku vždy prostřídány (například každý lichý trojúhelník stojí na základně a na něj navazující sudý stojí na vrcholu atd.), je výsledná délka takto vytvořeného kosodélníku rovna polovině obvodu kruhu.

Obvod kruhu je vždy , takže polovina obvodu je právě .

Obsah kosodélníku vznikne násobením jeho délky (což je v našem případě ) a výšky , tedy:

Právě jsme dospěli k výpočtu obsahu kruhu prostřednictvím výpočtu součtu obsahů mnoha trojúhelníků, které tento kruh pomyslně tvoří – stejně jako mohou tvořit kosodélník (respektive obdélník), když je prostřídaně naskládáte jeden za druhý.