PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Vzdálenost bodu od přímky

Zobrazit kapitoly článku
  1. Vzdálenost bodu od přímky
  2. Vzdálenost bodu od roviny
  3. Vzdálenost dvou přímek

Vzdálenost bodu od přímky je rovna velikost „nejkratší“ úsečky vedené od tohoto bodu k dané přímce.

Zadání #

Máme přímku p a bod A, který na této přímce neleží. Zajímá nás, jaká je vzdálenost bodu A od přímky p. Pro příklad si vezmeme přímku danou obecnou rovnicí p: −x + 2y − 12 = 0 a bod A[6, 4]:

Bod A a přímka pBod A a přímka p

Vzdálenost bodu od přímky je pak rovna velikosti úsečky AB, přičemž přímka AB je kolmá k přímce p a bod B leží na přímce p. Přímku AB si označíme q.

Řešení pomocí vzorce #

Pokud si nechcete nic odvozovat a nic „komplikovaně“ počítat, můžete si zkrátka jen zapamatovat vzorec. Pro bod A[a1, a2] a přímku p danou obecnou rovnicí p: ax + by + c = 0 je vzdálenost bodu A od přímky p rovna:

\[v(A, p) = \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Vzorec můžeme aplikovat na předchozí příklad. Dosadíme:

\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}\\ &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4,4721 \end{eqnarray}

Postup pomocí výpočtu souřadnice průsečíku #

Alternativně můžeme zkusit vypočítat souřadnice bodu B. Vzdálenost úsečky AB už pak půjde jednoduše přes velikost vektorů nebo přes Pythagorovu větu. K tomu nám může posloužit rovnice přímky q. Z obecné rovnice přímky p můžeme hned odvodit normálový vektor přímky p, ten je roven \(\vec{\mathbf{n}}=(-1, 2)\). Protože přímky p a q jsou kolmé, tak to znamená, že když vezmeme nějaký vektor \(\vec{\mathbf{m}}\), který bude kolmý k vektoru \(\vec{\mathbf{n}}\), tak tento vektor \(\vec{\mathbf{m}}\) bude normálovým vektorem přímky q.

Takovým kolmým vektorem je například vektor \(\vec{\mathbf{m}}=(2, 1)\) (můžeme to ověřit například skalárním součinem). Přímka q tak má obecnou rovnici

\[q: 2x+y+c=0\]

Koeficient c dopočítáme tak, že dosadíme za x a y souřadnice bodu, který na přímce jistě leží. V našem případě je to bod A[6, 4]. Dostaneme:

\begin{eqnarray} 2x+y+c&=&0\\ 2\cdot6+4+c&=&0\\ c&=&-16 \end{eqnarray}

Celá obecná rovnice přímky q má tvar:

\[q: 2x+y-16=0\]

Nyní chceme zjistit průsečík obou přímek. Průsečík zjistíme tak, že rovnice obou přímek vložíme do soustavy rovnic a vyřešíme ji:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

První rovnici vynásobíme 2, druhou nezměníme:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Obě rovnice sečteme:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-18)&=&0\\ 4y+y-24-18&=&0\\ 5y&=&40\\ y&=&8 \end{eqnarray}

y-ová souřadnice bodu B je y = 8. Tuto hodnotu dosadíme do nějaké rovnice, například do x + 2y − 12 = 0:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Bod B má souřadnice B[4, 8]. Nyní už známe souřadnice obou bodů. Spočítat velikost úsečky už je snadné. Můžeme z úsečky AB vytvořit vektor \(\vec{AB}\) a spočítat velikost tohoto vektoru.

\[\vec{AB} = B-A=[4, 8] - [6, 4] = [-2, 4]\]

Velikost vektoru (−2, 4) je pak rovna:

\[|\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4,4721\]

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace