PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Ekvivalentní úpravy nerovnic

Zobrazit kapitoly článku
  1. Ekvivalentní úpravy rovnic
  2. Ekvivalentní úpravy nerovnic

Při úpravách nerovnic používáme ekvivalentní úpravy, které se vyznačují tím, že nezmění platnost nerovnice. Smyslem ekvivalentních úprav je dostat nerovnici do nějakého jednoduššího tvaru, ze kterého už můžeme vypočítat výsledek nerovnice.

Co je to nerovnice #

Máme dány dvě funkce f(x) a g(x). Nerovnicí pak rozumíme výrazy v jednom z těchto tvarů:

\[\begin{eqnarray}f(x) < g(x),&\quad& f(x) > g(x)\\f(x)\le g(x),&\quad& f(x)\ge g(x)\end{eqnarray}\]

Řešením nerovnice jsou všechny x z (obvykle) množiny reálných čísel, pro která je nerovnice splněna. Příklad nerovnice: 6x<12. Zde platí, že f(x) = 6x a g(x) = 12. 6x je levá strana nerovnice, 12 je pravá strana. Řešením této nerovnice jsou všechna x, která jsou menší než dva: x<2. Tedy interval (−∞, 2).

Záměna stran se změnou znaménka #

U rovnic jsme mohli bez obav zaměnit pravou stranu za levou. Toto u nerovnic nemůžeme udělat. Například máme nerovnici x<5, tak nemůže zároveň platit 5 < x. V prvním případě je x menší než pět, ve druhém je x větší než pět. Nicméně pokud s prohozením strany zároveň změníme znaménko nerovnosti, bude se již jednat o ekvivalentní úpravy.

Pokud tak máme nerovnici f(x) < g(x), pak můžeme také napsat g(x) > f(x). Změnili jsme strany, ale zároveň jsme namísto < napsali >. Obdobně pro menší nebo rovno: Nerovnici f(x)≤ g(x) můžeme upravit na g(x)≥ f(x).

Přičtení výrazu #

K nerovnici můžeme přičíst číslo nebo funkci, která je definovaná na stejném oboru, v jakém oboru nerovnici řešíme. Příklad: máme nerovnici x>0. K této nerovnici můžeme přičíst například číslo tři. Dostaneme nerovnici x + 3>3. To má logiku.

Podobně můžeme přičíst celou funkci. Pokud máme nerovnici x > −3x + 7, můžeme k nerovnici přičíst 3x a dostaneme:

\[\begin{eqnarray}x& > &-3x+7\quad/+3x\\x+3x& > &-3x+3x+7\\4x& > &7\end{eqnarray}\]

Výraz můžeme pochopitelně tak odečítat – neboli můžeme přičíst záporné číslo.

Vynásobení nerovnice kladným výrazem #

Nerovnici už nemůžeme jen tak vynásobit nějakým výrazem, jako jsme to mohli udělat u rovnic. Platí, že pokud násobíme výrazem, který je vždy kladný, tak je to v pohodě. Ale pokud násobíme záporným výrazem, musíme změnit znaménko (viz další kapitola). Samozřejmě stejně jako u rovnic nesmíme násobit nulovým výrazem!

Co znamená vždy kladný výraz? Nejjednodušší výraz, který je vždy kladný, je kladné číslo. Takže pokud máme nerovnici x>2, tak ji můžeme vynásobit deseti, což je kladné číslo, a platnost nerovnice se nezmění. Dostaneme nerovnici 10x>20. Samozřejmě můžeme také dělit kladným číslem, takže z této upravené nerovnice můžeme vydělením pěti získat nerovnici 2x>4.

Nemůžeme ale nerovnici jen tak vynásobit proměnnou x, protože obecně proměnná x může nabývat jak kladných, tak záporných hodnot a to je nepřípustné. Existují ale situace, kdy bude x vždy kladné. Například pokud počítáme nějaký geometrický příklad, je možné, že proměnná x bude představovat délku nějaké úsečky. Délka nemůže být záporná (přinejhorším nulová), takže pokud víme, že x se bude rovnat délce nějaké úsečky, můžeme proměnnou x vynásobit nerovnici.

Další vždy nezáporný výraz je druhá mocnina. Pokud nějaké číslo umocníte na druhou, pak bude kladné (nebo nulové). Takže máme-li nerovnici

\[\frac{1}{x^2}>2,\]

můžeme jí vynásobit výrazem x2. Dostaneme: 1>2x2. Samozřejmě za podmínky, že x není rovno nule. Existuje více funkcí, které jsou vždy kladné. Takové Goniometrické funkce sinus a kosinus mají jako svůj obor hodnot množinu \(\left<-1,1\right>\). To není vždy kladné. Ale pokud k nim přičteme dvojku, dostáváme obor hodnot \(\left<1, 3\right>\), což už je kladný interval. Takovou funkcí bychom mohli nerovnici násobit. Takže pokud bychom měli nerovnici

\[\frac{x+3}{\cos(x)+3}\le 3x-5,\]

můžeme ji celou vynásobit výrazem cos(x)+3, protože to je vždy kladná funkce. Dostaneme:

\[x+3\le(3x-5)(\cos(x)+3).\]

Vynásobení nerovnice vždy záporným výrazem #

Se zápornými čísly a výrazy už je situace komplikovanější. Prohlédněte si ukázkový příklad: 1<2. Tato nerovnost jistě platí. Co když celou nerovnici vynásobíme minus jedničkou? Dostaneme −1<−2. Platí tato nerovnice? Neplatí, minus dvojka je menší než minus jednička. Násobení záporným číslem evidentně není ekvivalentní úprava nerovnice.

Nicméně pokud při násobení záporným číslem v nerovnici zároveň změníme znaménko nerovnosti, už to ekvivalentní úprava bude. Pokud nerovnici 1<2 vynásobíme −1 a zároveň místo < napíšeme >, provedeme tím ekvivalentní úpravu a získáme nerovnici −1>−2.

Násobení zápornými čísly je jednoduché, horší situace je u násobení výrazů (funkcí). Proč nemůžeme nerovnici vynásobit proměnnou x? Protože pokud by proměnná nabývala kladných hodnot, neměnilo by se znaménko. Pokud by nabývala záporných hodnot, měli bychom změnit znaménko. Obecně mohou nastat oba případy, pokud nemáme x nijak omezené, může být proměnná jak záporná, tak kladná. Příklad:

\[\frac{1}{x}>1\]

Špatný postup by byl vynásobit nerovnici proměnnou x. Dostali bychom totiž 1>x, tedy řešením jsou všechna x, která jsou menší než jedna (samozřejmě ještě s podmínkou, že x je různé od nuly). Co když ale do původní nerovnice dosadíme za x číslo −1? Dostáváme:

\[\begin{eqnarray}\frac{1}{-1}&>&1\\-1&>&1\end{eqnarray}\]

což jistě není pravda. Proto nemůžeme jen tak vynásobit nerovnici proměnnou x.

Nicméně podobně jako jsme v předchozí kapitole měli výrazy, které jsou vždy kladné, můžeme mít výrazy, které jsou vždy záporné. Nejjednodušeji je dostaneme tak, že před vždy kladný výraz dáme minusko. V předchozí kapitole jsme si uvedli, že funkce cos(x)+3 je vždy kladná. Pokud před celý výraz dáme minus, dostaneme vždy zápornou funkci: −(cos(x)+3).

Umocnění a odmocnění nerovnice přirozeným číslem #

Umocnění nerovnice obecně není ekvivalentní úprava, podobně jako u rovnic. Prohlédněte si následující nerovnici: x>−2. Co když ji umocníme na druhou? Dostaneme: x2>4. Je to ekvivalentní nerovnice? Co se stane, když dosadíme do obou rovnic za x nulu? V prvním případě máme 0>−2, což je pravda. Ve druhém případě máme 0>4, což není pravda. Neprovedli jsme tak ekvivalentní úpravu.

Kdy můžeme nerovnici umocnit přirozeným číslem? Pokud jsou obě strany nezáporné (kladné, nebo nulové). Pak už to bude bez problémů. Ukázkový příklad:

\[\begin{eqnarray}5&>&2\quad/^2\\25&>&4\end{eqnarray}\]

Dalším příkladem může být absolutní hodnota, která nám vrací nezáporné číslo. Takže tuto nerovnici můžeme bez obav umocnit na druhou:

\[\begin{eqnarray}|x|&<&3\quad/^2\\|x|^2&<&9\end{eqnarray}\]

Úplně stejně jako mocnina se chová i odmocnina. Pokud jsou obě strany nezáporné, můžeme rovnici odmocnit přirozeným odmocnitelem. Takže předchozí nerovnici můžeme zase hezky zpátky odmocnit na původní tvar:

\[\begin{eqnarray}|x|^2&<&9\quad/\sqrt{ }\\|x|&<&3\end{eqnarray}\]

Odstranění zbytečných výrazů #

Často řešíme nerovnici, která je ve tvaru f(x)>0. V takovém případě se stává, že funkce f je složitá a dala by se zjedndoušit vypuštěním některých výrazů. Prohlédněte si následující nerovnici: 2x>0. Tato nerovnice má zjevně řešení v případě, když je x>0. Pokud je x záporné, tak i je 2x záporné. Pokud vynásobíme dvojkou záporné číslo, číslo zůstane záporné. Dvojka nemá síly na to, aby po vynásobení změnila znaménko následujícího výrazu.

Můžeme si ještě zkusit vyřešit nerovnice 5x>0, 157x>0 a π x>0. Ve všech případech bude řešení stejné, x>0. Kladný koeficient před x nijak nezmění platnost nerovnice.

Formálně se pak těchto koeficientů zbavíme tak, že vydělíme nerovnici daným koeficientem, takto:

\[\begin{eqnarray}2x&>&0\quad/:2\\x&>&0\end{eqnarray}\]

Pozor na to, že abychom to mohli odstranit kladný koeficient, označme ho a, musí nutně násobit celou levou stranu. Nemůžeme odstranit dvojku z této nerovnice: 2x + 7>0, protože dvojka nenásobí celou levou stranu. Můžeme ale vydělit celou rovnici dvojkou a dostaneme nerovnici x + 3, 5>0.

Podobně tento příklad:

\[x^2\cdot(x-3)>0\]

Možná to vypadá složitě, nicméně výraz x2 je vždy nezáporný, takže nám nezmění znaménko následující závorky. Tento výraz tak můžeme z nerovnice odstranit – vydělíme nerovnici x2 a dostaneme:

\[x-3>0\]

Jen musíme přidat podmínku, že \(x^2\ne0\), protože nemůžeme dělit nulou. Nicméně x2 je nulové jen když je x nulové a pro x = 0 není nerovost splněna. Dostáváme totiž (x = 0): 0(0 − 3)>0 a 0>0 není pravda.

Toto není žádná extra metoda, je to jen šikovná aplikace předchozího bodu o násobení a dělení kladným výrazem.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace