PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Thaletova kružnice

Zobrazit kapitoly článku
  1. Kružnice
  2. Thaletova kružnice

Thaletova věta říká, že všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané leží na přeponě tohoto trojúhelníku, jsou pravoúhlé.

Popis Thaletovy kružnice #

Jistý Thalés z Milétu kdysi dávno objevil zajímavou vlastnosti trojúhelníku. Narýsujme trojúhelník a jeho kružnici opsanou tak, že střed této kružnice bude půlit přeponu (nejdelší stranu) trojúhelníku. Podívejte se na následující obrázek:

Thaletova kružniceThaletova kružnice

Na obrázku máme kružnici k se středem v bodě S. Tato kružnice je opsaná trojúhelníku ABC, tj. prochází přes všechny vrcholy trojúhelníku. Důležitou vlastností je, že přepona prochází středem kružnice, prochází bodem S.

Potom platí, že vnitřní úhel ABC má vždy velikost \(90^{\circ}\), jedná se o pravý úhel.

Ať posuneme vrchol B kamkoliv po kružnici, vždy u tohoto vrcholu získáme pravý úhel. Několik dalších příkladů:

Další příklad Thaletovy kružniceDalší příklad Thaletovy kružnice
Thaletovy kružnice platí i v opačném směruThaletovy kružnice platí i v opačném směru
Přeponu může být v libovolném směruPřeponu může být v libovolném směru

Důkaz #

Odvodíme si, proč trojúhelník v Thaletově kružnici je vždy pravoúhlý. Trochu si upravíme první obrázek:

Trojúhelník s vyznačenými úhlyTrojúhelník s vyznačenými úhly

Platí, že trojúhelníky SCB a ASB jsou rovnoramenné, protože mají vždy dvě strany stejně dlouhé. U trojúhelníku SCB jsou to strany SC a SB, protože jejich délka je rovna poloměru kružnice. U druhého trojúhelníku jsou to pak strany SA a SB.

Proto platí, že velikost úhlu BCS a úhlu SBC je stejná, na obrázku znázorněno písmenem β. Totéž u druhého trojúhelníku, tam je to označeno písmenem α.

Dále víme, že součet úhlů v trojúhelníku nám musí vždy dát \(180^{\circ}\). Nyní vyjádříme součet úhlů v trojúhelníku ABC pomocí úhlů α a β. Musí platit

\[\alpha + \beta + \alpha + \beta = 180.\]

Jeden úhel α je tam za úhel CAB, druhý úhel α za úhel ABS. Totéž pro úhel β. Předchozí rovnici ještě lehce upravíme:

\[2\alpha+2\beta = 180\]

Rovnici vydělíme dvěma:

\[\alpha+\beta = 90\]

A důkaz je hotový. Víme, že součet úhlů α + β je rovný 90 a víme, že součet úhlů α a β nám dá zkoumaný vnitřní úhel ABC.

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace