PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Sinová a cosinová věta

Zobrazit kapitoly článku
  1. Základní goniometrické funkce
  2. Jednotková kružnice
  3. Cyklometrické Arcus funkce
  4. Sinus, cosinus, tangens a cotangens
  5. Vzorce pro goniometrické funkce
  6. Grafy goniometrických funkcí
  7. Sinová a cosinová věta

Sinová věta je věta, která – narozdíl od běžných goniometrických funkcí – platí v obecném trojúhelníku. Udává nám vztah mezi délkami stran a úhly. Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku a jeho speciálním případem je Pythagorova věta.

Sinová věta #

Sinová věta nám říká, že poměr všech délek stran a hodnto sinů jim protilehlých úhlů je v daném obecném (!) trojúhelníku konstatní. Zapíšeme to takto:

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r,\]

kde r je poloměr kružnice opsané a a, b a c jsou délky stran trojúhelníku. Předchozí rovnost můžeme také přepsat do tvaru:

\[\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\]

Cosinová věta #

Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku, stejně jako věta sinová. Cosinová věta zní:

\[\begin{eqnarray}a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma\end{eqnarray}\]

Všimněte si, že pokud bude jeden z úhlu pravý, tj. bude mít velikost 90 stupňů, pak nám v jednom ze vzorců zmizí poslední část vzorce a dostaneme tvar Pythagorovy věty. Protože pokud \(\alpha=90^{\circ}\), pak cos(α) = 0 a tak dostáváme:

\[\begin{eqnarray}a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\a^2 &=& b^2 + c^2\end{eqnarray}\]

Motivace #

Mějme trojúhelník ABC se stranou c o délce |c| = 9. Velikosti úhlů jsou: \(\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}\). Otázka zní, jaká je délka zbývajících dvou stran? V tuto chvíli si již nevystačíme s běžnými goniometrickými funkcemi, protože ty fungují v pravoúhlém trojúhelníku, což tento rozhodně není. Obrázek:

Dopočítejte délky stran a a bDopočítejte délky stran a a b

V tuto chvíli budeme muset použít jiné cesty. Jednou z nich je právě sinová věta. Jakým způsobem ji použijeme? Sinová věta nám říká, že:

\[\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}\]

My z toho známe všechny úhly a délku strany c. Stranu b tak dopočítáme z rovnosti

\[\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}\]

Zde musíme osamostatnit délku strany b. Provedeme ekvivalentní úpravu rovnic a vynásobíme rovnici sinem úhlu beta. Dostaneme:

\[|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}\]

Všechny výrazy na prvé straně známe nebo je umíme dopočítat. Takže dosadíme:

\[|b|=\frac{9\cdot0,985}{0,866}=10,23.\]

Úplně stejným způsobem dopočítáme zbývající stranu a:

\[\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}\]

Osamostatníme |a| vynásobením rovnice sinem úhlu alfa.

\[|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}\]

Dopočítáme výsledek:

\[|a|=\frac{9\cdot0,642}{0,866}=6,672\]

Odvození věty sinové #

Proč sinová rovnost platí? Podívejme se na obyčejný trojúhelník ABC, kde ještě narýsujeme výšku ke straně c.

Trojúhelník ABC s výškou ke straně cTrojúhelník ABC s výškou ke straně c

Otázka zní, jakou délku má strana CPc. Díky výšce máme trojúhelník ABC rozdělený na dva pravoúhlé trojúhelníky, pomocí nichž můžeme délku výšky vyjádřit. Zkusíme tak vyjádřit délku strany CPc pomocí obou trojúhelníků. Platí, že sinus úhlu alfa je roven:

\[\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}\]

Odtud vyjádříme |CPc|:

\[|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.\]

Nyní vyjádříme délku strany CPc pomocí druhého trojúhelníku, pomocí úhlu beta:

\[\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}\]

Odtud opět osamostatníme |CPc|:

\[|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|\]

V tuto chvíli tak máme délku výšky vyjádřenou dvěma vzorci:

\[|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,\]

takže dostáváme rovnost

\[\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.\]

To už je kousek k tomu, co nám říká sinová věta. Celou rovnici vydělíme sinus alfa krát sinus beta:

\[\begin{eqnarray}\sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\\frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{zkrátime siny}\\\frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)}\end{eqnarray}\]

V předchozím postupu jsme dokázali část Sinové věty, nicméně důkaz pro ostatní kombinace stran je identický.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace