PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Rovnice roviny

Rovinu můžeme, stejně jako přímku, vyjádřit pomocí několika způsobů. Začneme nejjednoduším, parametrickým vyjádřením roviny.

Parametrické vyjádření roviny #

Vzpomeneme si nejdříve na to, jak jsme určovali parametrickou rovnici přímky p. Zvolili jsme si bod A, který procházel přímkou p a pak směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\). Pokud jsme k bodu A přičetli nějaký t-násobek směrového vektoru, získali jsme nějaký bod přímky p. Pro každý bod X, který leží na přímce, jsme tak získali rovnici

\[X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\quad t\in \mathbb{R}.\]

Podobnou úvahou můžeme dojít k rovnici roviny. Na popsání roviny potřebujeme dva různé nenulové vektory, které nejsou kolineární, tj. které nejsou rovnoběžné, a samozřejmě bod A, kterým tato rovina prochází. Vektory nesmí být kolineární proto, aby neležely na jedné přímce. Jedna přímka nám rovinu neurčí, jedna přímka může být obsažena v nekonečně mnoha rovinách.

Můžeme na to jít i jinak – přímku jsme schopni určit pomocí dvou různých bodů A, B. Těmito body nicméně prochází nekonečně mnoho rovin – pokud ale k těmto bodům přidáme ještě jeden odlišný bod C, pak už jednoznačně definujeme rovinu.

Pokud tak máme tři různé body A, B, C, můžeme sestrojit dva různé vektory \(\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}\) a \(\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}\). Tyto dva vektory a například bod A nám definují rovinu. Připomeňme si sčítání vektorů:

Součet dvou vektorů u+vSoučet dvou vektorů u + v

Vidíme, že součtem dvou vektorů můžeme získat vektor, který má souřadnice „mezi“ těmi dvěma vektory. Postupný sčítáním různých násobků vektorů \(\vec{\mathbf{u}}\) a \(\vec{\mathbf{v}}\) pak jsme schopni zaplnit celou rovinu. Můžeme tak napsat parametrické vyjádření roviny, která je určena vektory \(\vec{\mathbf{u}}, \vec{\mathbf{v}}\) a která prochází bodem A:

\[X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}} + s\cdot \vec{\mathbf{v}}, \quad t, s \in \mathbb{R}\]

kde X je nějaký bod roviny. Pro každý bod roviny jsme schopni nalézt takové t a s, aby rovnice platila. Tuto rovnici můžeme ještě rozepsat do soustavy rovnic. Předpokládáme, že X[x, y, z], A[a1, a2, a3], \(\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2, u_3)\) a \(\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2, v_3)\).

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\ \end{eqnarray}

Příklad #

Zjistěte, zda v rovině, která je určena body A[2, 3, 4], B[3, 7, −1], C[−5, 4, 4] leží bod Q[0, 3, 5] nebo bod.

Jako první si sestavíme rovnici roviny. Určíme vektory \(\vec{\mathbf{u}}\) a \(\vec{\mathbf{v}}\), přičemž \(\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}\) a \(\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}\). Bude tak platit:

\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}&=&B-A=[3,7,-1]-[2,3,4]=[1,4-5]\\ \vec{\mathbf{v}}&=&C-A=[-5,4,4]-[2,3,4]=[-7,1,0] \end{eqnarray}

Rovina prochází bodem A, takže napíšeme soustavu rovnic:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Nyní zjistíme, jestli touto rovinou prochází bod Q[0, 3, 5]. To uděláme tak, že za x, y, z dosadíme právě čísla 0, 3, 5 a vyřešíme soustavu rovnic. Takže dostáváme soustavu:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Z poslední rovnice můžeme osamostatnit t:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5\\ t \cdot 5 &=& -1\\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Dosadíme t do druhé rovnice:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

A nakonec dosadíme hodnoty t a s do první rovnice, abychom zjistili, jestli má rovnice smysl:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \\ 0 &=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}\\ 0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Rovnice nedává smysl, celá soustava tam nemá řešení, bod Q[0, 3, 5] není bodem roviny.


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace