PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Pravoúhlý trojúhelník

Zobrazit kapitoly článku
  1. Trojúhelník
  2. Výška trojúhelníku
  3. Těžnice trojúhelníku
  4. Kružnice v trojúhelníku
  5. Pravoúhlý trojúhelník
  6. Jak narýsovat trojúhelník
  7. Obsah trojúhelníku
  8. Pythagorova věta

Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel pravý, tj. o velikosti 90 stupňů. Tento trojúhelník má několik zajímavých vlastností, o kterých bude řeč v tomto článku.

Základní popis #

Pravoúhlý trojúhelník už byl částečně popsán v hlavním článku o trojúhelnících. Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel o velikosti 90 stupňů. Oba zbývající vnitřní úhly musí mít nutně velikost menší než 90 stupňů, protože jinak by součet vnitřních úhlů nebyl roven 180 stupňů. Dokonce platí, že součet dvou zbývajících úhlů je právě 90 stupňů.

Pravoúhlý trojúhelníkPravoúhlý trojúhelník

Pravoúhlý trojúhelník má samozřejmě tři strany, dvěma z nich se říká odvěsny (červené strany), to jsou ty menší strany a třetí strana se nazývá přepona (modrá strana) – to je ta nejdelší strana. Přepona je vždy naproti bodu, u kterého je pravý úhel.

Pythagorova věta #

Asi nejslavnější matematická věta vůbec, Pythagorova věta, platí právě v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta se zabývá velikostí stran trojúhelníku. Věta říká, že „Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami“. Matematicky zapsáno:

\[c^2=a^2+b^2\]

Pythagorova věta v obrázku:

Znázorněná Pythagorova větaZnázorněná Pythagorova věta
Větou se zabývá samostatný článek.

Obsah pravoúhlého trojúhelníku #

V pravoúhlém trojúhelníku lze velmi jednoduše spočítat obsah, protože výšky splývají s odvěsnami. Představte si pravoúhlý trojúhelník z prvního obrázku. Jakým způsobem bychom spočítali jeho obsah bez znalosti nějakých výšek? Trojúhelník můžeme doplnit tak, aby vznikl obdélník. Strany obdélníku budou tvořeny odvěsnami trojúhelníku a zbylé dvě strany doplníme tak, aby opravdu obdélník vznikl:

Doplnění na obdélníkDoplnění na obdélník
Obsah obdélníku už umíme spočítat, jedná se o součin délek dvou sousedících stran, v našem případě součin červených stran AC a AB. Tím získáme obsah obdélníku. Nicméně přepona BC tvoří úhlopříčku obdélníku, která daný obdélník půlí, takže pokud obsah obdélníku vydělíme dvěma, dostaneme obsah pravoúhlého trojúhelníku. Vzorec by tedy vypadal takto:

\[S_\triangle=\frac{b\cdot c}{2},\]

kde b a c jsou délky odvěsen.

Goniometrické funkce sinus a kosinus #

V pravoúhlém trojúhelníku platí základní goniometrické funkce a jejich vztahy. Goniometrické funkce jako je sinus, kosinus (někdy také cosinus), tangens a kotangens (cotangens) vyjadřují poměr mezi jednotlivými délkami stran v pravoúhlém trojúhelníku. Vezměme si ještě jednou na pomoc první trojúhelník, tentokrát se zvýrazněnými úhly.

Pravoúhlý trojúhelník se zvýrazněnými úhlyPravoúhlý trojúhelník se zvýrazněnými úhly

Pokud chceme zjistit poměr délek dvou stran, vezmeme obě délky a vydělíme je v uvedeném pořadí. Například poměr délek stran b:c (čteme „bé ku cé") získáme vydělením 3/5 (strana b má délku 3, strana c 5).

Funkce sinus pak pracuje s poměrem dvou stran a jednoho úhlu. Vzhledem k našemu obrázku platí: pokud vezmeme poměr stran b:a, získáme hodnotu funkce sinus aplikovanou na úhel β. Kosinus funguje podobně, jen pro poměr b:a a stejný úhel β. Platí tak:

\[\begin{eqnarray}\sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\\cos(\beta)&=&\frac{c}{a}\end{eqnarray}\]

Funkce sinus a kosinus pracují vždy jen s těmi úhly v pravoúhlém trojúhelníku, které jsou menší než 90 stupňů. V tomto případě s úhly β a γ. V tomto rozsahu nám funkce sinus a kosinus vždy vrátí číslo v intervalu (0, 1), díky čemu si můžete zapamatovat pravidlo, že vždy dělíte kratší stranu delší stranou – abyste dostali číslo právě z intervalu (0, 1).

Obě funkce zároveň pracují s jednou odvěsnou a přeponou, nikdy se nejedná o dvě odvěsny současně. Protože dělíte vždy kratší děleno delší, tak přepona bude vždy ve jmenovateli zlomku. Když se podíváte na vzorečky nad odstavcem, tak ve jmenovateli je vždy a, což je přepona trojúhelníku.

Poslední pravilo je, že sinus pracuje s protilehlou odvěsnou, zatímco kosinus s přilehlou odvěsnou. Co to znamená? Pokud máme úhel β, pak přilehlá odvěsna je ta odvěsna, která vychází z bodu B, odvěsna c. Protilehlá je ta druhá odvěsna, odvěsna b. Proto je ve vzorečku u sinu strana b a u kosinu strana c.

Shrnutí: sinus vrací poměr protilehlé odvěsny ku přeponě, kosinus poměr přilehlé odvěsny ku přeponě. Jakým způsobem toho můžeme využít? Pokud znáte úhly v trojúhelníku a délku přepony nebo odvěsny, můžeme vypočítat délky zbývající strany. Příklad:

U předchozího trojúhelníku platí:

\[|AC|=b=3,\quad|AB|=c=5,\quad\beta=30,96^\circ\]

Jaká je délka strany a? Víme, že platí:

\[\sin(\beta)=\frac{b}{a}\]

Hodnotu sinu známe, délku strany b také známe, hledáme délku strany a. Osamostatníme a pomocí ekvivalentních úprav:

\[\begin{eqnarray}\sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\a\cdot\sin(\beta)&=&b\\a&=&\frac{b}{\sin(\beta)}\end{eqnarray}\]

(Nejdříve jsme rovnici vynásobili a a poté jsme rovnici vydělili sinem.) Na pravé straně už máme samé známé hodnoty, takže dosadíme. Hodnotu sinu spočítáme na kalkulačce.

\[a=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{3}{0,514}=5,83.\]

Strana a má délku 5,83. Pokud budete počítat sinus na kalkulačce, dejte si pozor, abyste měli zapnutý mód pro stupně. Často totiž bývá problém v tom, že počítáte s radiány, což je jiná úhlová míra. Nicméně platí převodní vztah:

\[rad=\frac{\pi}{180}\cdot deg,\]

kde deg je vaše hodnota ve stupních.

Goniometrické funkce tangens a kotangens #

V pravoúhlém trojúhelníku lze jednoduše použít i tyto dvě funkce. Opět platí, že vždy pracujeme s úhly menší než 90 stupňů. Narozdíl od sinus a kosinu ale tyto funkce nepracují s přeponou trojúhelníku, ale pouze s odvěsnami. Platí tak, že tangens úhlu se rovná poměru protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně a kotangens poměru přilehlé odvěsny ku protilehlé.

Vzhledem k předchozímu trojúhelníku tak platí:

\[\begin{eqnarray}\tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\\mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b}\end{eqnarray}\]

Zkusíme si v předchozím trojúhelníku spočítat délku strany AC (strana b), pomocí úhlu β. Jeho velikost známe z předchozího příkladu. Víme, že platí:

\[\tan(\beta)=\frac{b}{c}\]

Osamostatníme stranu b:

\[\begin{eqnarray}\tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\c\cdot\tan(\beta)&=&b\\b&=&c\cdot\tan(\beta)\end{eqnarray}\]

(Rovnici jsme jen vynásobili c a prohodili jsme strany.) Nyní už známe vše potřebné k tomu, abychom vypočítali délku strany b. Dosadíme:

\[b=c\cdot\tan(\beta)=5\cdot\tan(30,96)=5\cdot0,6=3\]

Už z obrázku vidíme, že nám vyšlo správné řešení. Jen opět pozor na to, že ve vzorečku je v tangensu hodnota ve stupních, zatímco kalkulačka může vyžadovat úhel v radiánech.

Pro ilustraci si můžeme stejnou stranu spočítat pomocí kotangensu:

\[\begin{eqnarray}\mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b}\\b\cdot\mbox{cotan}(\beta)&=&c\\b&=&\frac{c}{\mbox{cotan}(\beta)}\end{eqnarray}\]

Dosadíme hodnoty:

\[b=\frac{5}{\mbox{cotan}(30,96)}=\frac{5}{1,666\ldots}=3\]

Opět nám vyšel správný výsledek.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace