PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Parametrické vyjádření přímky

Zobrazit kapitoly článku
  1. Parametrické vyjádření přímky
  2. Obecná rovnice přímky
  3. Normálový vektor přímky
  4. Směrnicový tvar přímky
  5. Rovnice přímky v prostoru

Parametrická rovnice přímky je základní rovnice přímky v rovině nebo v prostoru.

Motivace #

Jak bychom mohli popsat přímku v rovině? Víme, že k popsání přímky nám stačí dva různé body, označme je například A a B. Jinak řečeno: máme-li dva různé body, lze těmito body proložit právě jednu přímku p:

Přímka proložená dvěma bodyPřímka proložená dvěma body

Jak bychom tuto přímku popsali jinak, pomocí vektorů? Můžeme si do obrázku přikreslit vektor \(\vec{\mathbf{u}}\), který bude rovnoběžný s přímkou p.

Přímka s vektorem \vec{\mathbf{u}}Přímka s vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\)

Tento vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) má stejný směr jako přímka u. To je celkem fajn, jenomže pouze směr nám nestačí. Pokud bychom přímku p charakterizovali pouze vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\), určili bychom pouze směr přímky, ne konkrétní umístění. Neměli bychom jak rozlišit tyto tři přímky:

Tři přímky ve stejném směru jako vektor \vec{\mathbf{u}}Tři přímky ve stejném směru jako vektor \(\vec{\mathbf{u}}\)

Nové přímky p1 a p2 mají stejný směr jako přímka p a stejný směr jako vektor \(\vec{\mathbf{u}}\). K tomu, abychom jednoznačně definovali přímku p ještě potřebujeme znát alespoň jeden bod ležící na přímce p. Pokud řekneme, že přímka p má směr popsaný vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\) a prochází bodem A, jednoznačně tím definujeme přímku p. Přímky p1 a p2 jsou sice ve stejném směru, ale ani jedna neprochází bodem A.

Libovolnou přímku můžeme zapsat jako \(p(A, \vec{\mathbf{u}})\), kde A je bod ležící na přímce a \(\vec{\mathbf{u}}\) je vektor rovnoběžný s přímkou. Například přímku p1 bychom mohli napsat ve tvaru \(p(G, \vec{\mathbf{u}})\) a přímku p2 jako \(p(E, \vec{\mathbf{u}})\) nebo \(p(F, \vec{\mathbf{u}})\) – můžeme použít jakýkoliv bod ležící na přímce.

Směrový vektor přímky #

Máme-li přímku \(p(A, \vec{\mathbf{u}})\), pak vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) nazýváme směrovým vektorem přímky. Nejjednodušeji směrový vektor nalezneme tak, že nalezneme dva body A, B, které leží na přímce p a směrový vektor pak bude orientovaná úsečka \(\vec{AB}\). Souřadnice tohoto vektoru získáme rozdílem souřadnic \(\vec{\mathbf{u}}=B - A\). Příklad:

Přímka pPřímka p

Máme přímku p a na ní leží dva body A, B. Směrový vektor bude roven orientované úsečce \(\vec{AB}\), takže souřadnice takového vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) zjistíme tak, že vypočítáme

\[\vec{\mathbf{u}} = \left(u_1, u_2\right) = \left[6, 6\right] - \left[2, 4\right] = \left[4, 2\right]\]

Vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) má pak stejnou velikost jako orientovaná úsečka \(\vec{AB}\). Tento vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) můžeme do obrázku zakreslit takto:

Přímka se směrovým vektoremPřímka se směrovým vektorem

Koncový bod vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) má souřadnice [4, 2], přesně, jak jsme spočítali, a je vidět, že tento vektor je rovnoběžný s přímkou. Směrový vektor nám pouze ukazuje směr přímky, nebo možná lépe – „naklonění přímky“. Směrový vektor musí být pouze rovnoběžný s přímkou. Takže pokud bychom místo orientované úsečky \(\vec{AB}\) vzali úsečku \(\vec{BA}\), vyšel by nám směrový vektor \(\vec{\mathbf{v}}=A-B\):

\[\vec{\mathbf{v}}=\left(v_1, v_2\right)=\left[2,4\right]-\left[6,6\right]=\left[-4,-2\right]\]

Zakresleno v obrázku:

Dva směrové vektory \vec{\mathbf{u}} a \vec{\mathbf{v}}Dva směrové vektory \(\vec{\mathbf{u}}\) a \(\vec{\mathbf{v}}\)

Vidíme, že zelený vektor \(\vec{\mathbf{v}}\) je opačný k modrému vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\). Přitom jsou to oba směrové vektory přímky p, protože jsou oba rovnoběžné s přímkou p.

Parametrické vyjádření přímky #

Máme přímku p, bod A, který leží na této přímce a směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\). Jaký bod získáme, pokud sečteme bod A s vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\)? Podívejme se na obrázek:

Výsledek součtu A + \vec{\mathbf{u}}Výsledek součtu \(A + \vec{\mathbf{u}}\)

Pokud sečteme bod, který leží na přímce, se směrovým vektorem, získáme bod X, který také leží na této přímce. V podstatě jen „posouváme bod A ve směru vektoru o vzdálenost velikosti vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\)“. Bod X tak má souřadnice:

\[X=\left[x,y\right]=A+\vec{\mathbf{u}}=\left[2,1\right]+\left[1,3\right]=\left[3,4\right]\]

Jak by to dopadlo, kdybychom vzali jen polovinu vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) nebo dvojnásobek? Nebo −1 násobek? Opět to znázorňuje obrázek:

Součtu bodu A s násobky vektoru \vec{\mathbf{u}}Součtu bodu A s násobky vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\)

Vidíme, že když sečteme bod A s jakýmkoliv násobkem směrového vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\), vždy získáme bod, který leží na přímce p. Červený bod A znázorňuje „počátek“, zelené body pak znázorňují výsledky součtů bodu A s násobky modrého směrového vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\).

Ve skutečnosti ať vybereme jakýkoliv bod X ležící na přímce p, tak tento bod vždy můžeme vyjádřit jako součet bodu A s nějakým t-násobkem směrového vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\), kde t je reálné číslo. Pro všechny body X ležící na přímce p můžeme říci, že existuje \(t\in \mathbb{R}\) takové, že

\[X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}}.\]

Jinými slovy – pokud bychom v této rovnici postupně za t dosadili všechna reálná čísla, pak bychom získali všechny body, které tvoří přímku p; získali bychom celou přímku p. Tato rovnice se nazývá parametrické vyjádření přímky \(p(A, \vec{\mathbf{u}})\).

Předchozí rovnici můžeme nahradit soustavou rovnic. Pokud má bod X souřadnice [x, y], bod A má souřadnice [a1, a2] a vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) má souřadnice [u1, u2], tak můžeme napsat

\[\left[x,y\right]=\left[a_1,a_2\right]+t\cdot\left[u_1,u_2\right],\]

což lze dále přepsat do již zmíněné soustavy rovnic (zvlášť vyjádříme x-ovou a zvlášť y-ovou souřadnici):

\[\begin{eqnarray}x &=& a_1 + t\cdot u_1\\y &=& a_2 + t\cdot u_2\\\end{eqnarray}\]

Každá přímka v rovině může být vyjádřena touto soustavou rovnic.

Omezení parametru #

V předchozí kapitole jsme si řekli, že když v parametrické rovnici dosadíme za parametr t všechna reálná čísla, dostaneme přímku. Co by se stalo, kdybychom nevzali všechna reálná čísla, ale dejme tomu jen polovina z nich – jen nezáporná reálná čísla?

Získali bychom polopřímku. Když se vrátíme k tomuto obrázku…

Součtu bodu A s násobky vektoru \vec{\mathbf{u}}Součtu bodu A s násobky vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\)

…tak vidíme, že pro všechny kladné násobky (tj. kladný parametr t) směrového vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) jsme získali body X, které ležely „nad“ bodem A. A naopak – pokud jsme přičetli záporný násobek \(\vec{\mathbf{u}}\) (tj. záporný parametr t), tak jsme získali bod, který na „opačné straně“, „pod“ bodem A. Pokud za parametr t dosadíme všechna nezáporná čísla, tj. \(t\in\left<0, \infty\right)\), získali bychom takovou, červeně zvýrazněnou, polopřímku r:

Polopřímka rPolopřímka r

Přerušovaná čára znázorňuje body, které bychom získali, kdybychom naopak za parametr t dosadili všechna záporná čísla.

Pokud bychom za parametr t dosadili všechna čísla z jednotkového intervalu \(\left<0,1\right>\) získali bychom úsečku, která by byla stejně velká jako je velikost směrového vektoru. Získali bychom tuto červenou úsečku:

ÚsečkaÚsečka

Příklady #

Máme v rovině dva body A[−1, 3] a B[2, 5].

  1. Určete parametrickou rovnici přímky p procházející body A, B. Jako první určíme směrový vektor. Vezmeme si orientovanou úsečku \(\vec{AB}\) a směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) tak bude mít souřadnice

    \[ \vec{\mathbf{u}}=\left[u_1, u_2\right]=B-A=\left[2,5\right]-\left[-1,3\right]=\left[3,2\right] \]

    Parametrické vyjádření přímky má obecně tvar \(X = A + t \cdot \vec{\mathbf{u}}\), po dosazení tak získáváme rovnici

    \[ X = \left[-1,3\right]+t \cdot \left[3,2\right] \]

    což můžeme přepsat do soustavy takto:

    \[\begin{eqnarray} x_1 &=& -1 + 3t\\ x_2 &=&3 + 2t \end{eqnarray}\]

    Protože popisujeme přímku, tak \(t\in \mathbb{R}\). Obrázek následuje o trochu níže.

  2. Určete parametrickou rovnici polopřímky r, která má počáteční bod A a prochází bodem B. Použijeme stejnou parametrickou rovnici, jen omezíme parametr t. Nyní jde jen o to, jestli \(t\in \left<0,\infty\right)\) nebo \(t\in \left(-\infty, 0\right>\).

    Směrový vektor jsme získali z orientované úsečky \(\vec{AB}\), což znamená, že počáteční bod je A a koncový bod je B. To je přesně tak, jak to potřebujeme – naše polopřímka má také mít počáteční bod A. To znamená, že nemusíme obracet směr zápornými hodnotami parametru a budeme tak brát parametr t z nezáporného intervalu \(t\in \left<0, \infty\right)\).

    Obrázek popisující řešení této a předchozí úlohy.

    Směrový vektor \vec{\mathbf{u}}, přímka p a polopřímka rSměrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\), přímka p a polopřímka r

  3. Nalezněte střed úsečky AB. Můžeme postupovat dvěma způsoby: sečíst souřadnice bodů A, B a vydělit výsledné souřadnice dvěma. Udělejme to:

    \[ S = \frac{\left[-1,3\right]+\left[2,5\right]}{2}=\frac{\left[1,8\right]}{2}=\left[\frac12, 4\right] \]

    Stejný bod ale můžeme získat i přes směrový vektor. Ten jsme získali z orientované úsečky \(\vec{AB}\), což znamená, že když sečteme \(A+\vec{\mathbf{u}}\), tak získáme bod B. Když tak k A přičteme polovinu směrového vektoru, získáme střed úsečky \(\vec{AB}\):

    \[ S = A + \frac12 \vec{\mathbf{u}} = \left[-1,3\right] +\frac12 \left[3,2\right] = \left[-1,3\right]+\left[\frac32, 1\right]=\left[\frac12, 4\right] \]

    Vidíme, že vyšel stejný bod. Pro kontrolu obrázek:

    Střed S úsečky ABStřed S úsečky AB

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace