PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Obecná rovnice přímky

Zobrazit kapitoly článku
  1. Parametrické vyjádření přímky
  2. Obecná rovnice přímky
  3. Normálový vektor přímky
  4. Směrnicový tvar přímky
  5. Rovnice přímky v prostoru

Obecnou rovnici přímky získáme z parametrické rovnice přímky tak, že odstraníme parametr t.

Motivace #

Vzpomínáte si na lineární funkci? Ta má jako svůj graf právě přímku. Základní tvar lineární funkce je přitom y = ax + b. Podívejme se na přímku p, která prochází body A[0, 3], B[2, 7]:

Přímka procházející body A a BPřímka procházející body A a B

Určíme lineární funkci, která má za graf právě tuto přímku p. Tato lineární funkce má tvar y = ax + b, přitom to, že přímka prochází bodem A[0, 3] nám říká, že v bodě x1 = 0 má funkce funkční hodnotu y1 = 3. Musí tak platit rovnice a · 0 + b = 3. Protože přímka prochází o bodem B[2, 7], má funkce v bodě x2 = 2 funkční hodnotu y2 = 7 musí zároveň platit rovnice a · 2 + b = 7. My hledáme koeficienty a, b. Vzniká nám soustava rovnic:

\[\begin{eqnarray}a \cdot 0 + b &=& 3\\a \cdot 2 + b &=& 7\end{eqnarray}\]

Z první rovnice a · 0 + b = 3 můžeme snadno získat koeficient b, který je tak roven b = 3. Tento výsledek dosadíme do druhé rovnice, tedy do rovnice a · 2 + b = 7 dosadíme za b číslo tři:

\[\begin{eqnarray}a \cdot 2 + b &=& 7\\a \cdot 2 + 3 &=& 7\\a \cdot 2 &=& 4\\a &=& 2\end{eqnarray}\]

A máme oba koeficienty: a = 2, b = 3. Funkce, která popisuje předchozí přímku, má tvar y = 2x + 3. Když za x dosadíme x = 1, dostáváme y = 2 + 3 = 5, což souhlasí s grafem přímky. Tvar y = 2x + 3 můžeme ještě přepsat tak, aby na pravé straně byla nula, tj. přičteme k rovnici −(2x + 3). Tím získáme rovnici:

\[y-2x-3=0\]

Tato rovnice se nazývá obecná rovnice přímky.

Definice obecné rovnice přímky #

Předchozí postup je mírně složitý a navíc není použitelný v případě, kdy je přímka rovnoběžná s osou y, tj. když je vertikální, protože taková přímka nepopisuje žádnou funkci. Obecnou rovnici přímky proto zavedeme ještě jiným způsobem. Řekneme, že každá lineární rovnice tvaru

\[ax + by + c = 0,\]

kde \(a,b,c\in \mathbb{R}\) a alespoň jedno z čísel a, b ≠ 0, je rovnice přímky v rovině. Přitom každá přímka v rovině lze vyjádřit v tomto tvaru. Tuto rovnici pak nazýváme obecnou rovnicí přímky. Můžeme ji jednoduše zjistit z parametrického tvaru přímky. Máme-li přímku popsanou parametrickou rovnicí

\[\begin{eqnarray}x &=& a_1 + t\cdot u_1\\y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\\end{eqnarray}\]

zjistíme obecnou rovnici tak, že z parametrické rovnice odstraníme parametr t. Příklad: držme se předchozí přímky danou body A[0, 3], B[2, 7]. Zjistíme směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) z orientované úsečky \(\vec{AB}\).

\[\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)=B-A=[2,7]-[0,3]=[2,4]\]

Můžeme si znovu prohlédnout přímku p se směrovým vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\):

Přímka p se směrovým vektorem \vec{\mathbf{u}}Přímka p se směrovým vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\)

Vyjádříme parametrickou rovnici vzhledem k bodu A a vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\):

\[\begin{eqnarray}x &=& 0 + t\cdot 2\\y &=& 3 + t\cdot 4\\\end{eqnarray}\]

Abychom dostali obecnou rovnici, musíme tyto dvě rovnice sečíst tak, abychom vyrušili parametr t. Jako první tak vynásobíme první rovnici −2, druhou nezměníme:

\[\begin{eqnarray}-2x &=& 0 - t\cdot 4\\y &=& 3 + t\cdot 4\\\end{eqnarray}\]

A teď obě rovnici sečteme, čímž získáme jednu rovnici:

\[\begin{eqnarray}y-2x &=&3 +t \cdot 4 - t \cdot 4\\y-2x &=&3\\y-2x-3 &=&0\end{eqnarray}\]

Toto je výsledná obecná rovnice přímky p. Vidíme, že jsme získali úplně stejnou rovnici jako v předchozím postupu.

K čemu je obecná rovnice přímky #

Obecná rovnice nám určuje všechny body, které tvoří přímku. Pokud do obecné rovnice ve tvaru ax + by + c = 0 dosadíme za neznámé x, y takové reálná čísla, aby měla rovnice smysl, pak [x, y] je bodem této přímky. Vraťme se k předchozí přímce popsanou obecnou rovnicí y − 2x − 3 = 0. Pokud za x, y dosadíme hodnoty x = 1, y = 5, získáme rovnici:

\[\begin{eqnarray}5-2\cdot1-3&=&0\\5-2-3&=&0\\0&=&0\end{eqnarray}\]

To znamená, že bod [1, 5] leží na přímce. Když zkusíme dosadit x = 2, y = 3, získáme rovnici:

\[\begin{eqnarray}3-2\cdot2-3&=^?&0\\3-4-3&=^?&0\\-4&\ne&0\end{eqnarray}\]

Rovnice nemá smysl, bod [2, 3] neleží na přímce p. Můžeme si to i zkontrolovat na obrázku:

Zeleně zvýrazněné hledané bodyZeleně zvýrazněné hledané body

Vertikální přímka #

Už jsme nakousli, že obecnou rovnici vertikální přímky p bychom nemohli získat pomocí postupu popsaného v první kapitole, protože vertikální přímka nepopisuje žádnou funkci. Nicméně i taková přímka má svou obecnou rovnici, kterou získáme postupem uvedeným v předchozí kapitole.

Ukážeme si to na přímce, která prochází body A[4, 2], B[4, 8]. Směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) má tvar:

\[\vec{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[4,8]-[4,2]=[0,6]\]

Obrázek:

Přímka p a směrový vektorPřímka p a směrový vektor

Parametrická rovnice vzhledem k bodu A a směrovému vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) by vypadala takto:

\[\begin{eqnarray}x &=& 4 + t\cdot 0\\y &=& 2 + t\cdot 6\\\end{eqnarray}\]

Nyní bychom měli odstranit parametr t. Nicméně první rovnice nám už ušetřila práci, v první rovnici žádný parametr t není, respektive je vždy nulový, takže můžeme celou tuto rovnici použít jako obecnou rovnici přímky p. Přímka p tak má obecnou rovnici

\[x-4=0\]

Tedy koeficienty a, b, c v rovnici ax + by + c = 0 se rovnají a = 1, b = 0, c = −4.

Horizontální přímka #

Ukážeme si ještě jeden příklad, s horizontální přímkou, která prochází body A[2, 1], B[5, 1]. Směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\) bude roven:

\[\vec{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[5,1]-[2,1]=[3,0]\]

Obrázek:

Přímka p a její směrový vektor \vec{\mathbf{u}}Přímka p a její směrový vektor \(\vec{\mathbf{u}}\)

Parametrická rovnice přímky vzhledem k bodu A by vypadala takto:

\[\begin{eqnarray}x &=& 2 + t\cdot 3\\y &=& 1 + t\cdot 0\\\end{eqnarray}\]

Opět vidíme, že nemusíme eliminovat parametr t, protože ve druhé rovnici je nulový. Můžeme tak použít přímo druhou rovnici jako obecnou rovnici přímky p:

\[y-1=0\]

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace