PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Lineární obal

Zobrazit kapitoly článku
  1. Vektorové prostory
  2. Příklady vektorových prostorů
  3. Vektorový podprostor
  4. Lineární kombinace vektorů
  5. Lineární obal
  6. Báze vektorového prostoru
  7. Dimenze vektorového prostoru
  8. Matice přechodu

Pokud máme nějakou množinu vektorů a spočítáme jejich všechny lineární kombinace, pak získáme lineární obal této množiny vektorů.

Definice lineárního obalu #

Mějme vektory x1, …, xn. Už víme, že z těchto vektorů můžeme poskládat nový vektor pomocí lineární kombinace. Zvolíme reálná čísla a1, …, an a nový vektor y získáme vynásobením a sečtením

\[\mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n\]

Tímto způsobem, pokud je alespoň jeden z vektorů xi různý od nulového vektoru, můžeme z množiny vektorů x1, …, xn vyrobit nekonečně mnoho „dalších“ vektorů – stačí jen nějak vhodně zvolit jiné koeficienty a1, …, an.

Pokud budeme generovat vektory dál a dál, získáme nakonec všechny vektory, které můžeme získat lineární kombinací vektorů x1, …, xn. Takovou množinu pak nazýváme lineárním obalem vektorů x1, …, xn. Lineární obal množiny vektorů X značíme pomocí špičatých závorek: \(\left< X\right>\). Formálně bychom mohli lineární obal zapsat takto

\[\left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\},\]

pokud máme konečný počet vektorů. Máme-li nekonečnou množinu vektorů X, můžeme vzít všechny konečné podmnožiny \(Y_i \subseteq X\), tedy |Yi| = r pro nějaké \(r \in \mathbb{N}\), a lineárním obalem množiny X by pak bylo sjednocení všech množin \(\left< Y_i\right>\).

Příklad #

Zůstaneme u oblíbeného vektorového prostoru \(\mathbb{R}^3\). Zvolíme si jednobodovu množinu X1 = {[1, 2, 1]} a ptáme se, jaký je lineární obal této množiny? Jsou to všechny lineární kombinace vektoru [1, 2, 1]. Výsledný obal bude mít tvar

\[\left< X_1\right> = \left\{\left[a,2a,a\right]|a\in \mathbb{R}\right\}\]

Budou to tak vektory tvaru [3, 6, 3], [8, 16, 8], [−1, −2, −1] atd. Můžeme si zkusit ověřit, že součet některých dvou vektorů nám dá nový vektor stejného tvaru:

\[\begin{eqnarray}\left[3,6,3\right]+\left[3,6,3\right]&=&\left[6,12,6\right]\\\left[3,6,3\right]+\left[-1,-2,-1\right]&=&\left[2,4,2\right]\\\left[8,16,8\right]+\left[2,4,2\right]&=&\left[10,20,10\right]\end{eqnarray}\]

Druhým příkladem mohou být klasické vektory X2 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Když spočítáme všechny lineární kombinace, tak zjistíme, že mají tvar [a, b, 0], kde \(a, b, \in \mathbb{R}\). Lze to ukázat jednoduše, protože

\[\left[a,b,0\right] = a \cdot \left[1,0,0\right] + b \cdot \left[0,1,0\right].\]

Vektory tohoto obalu jsou tak například [0, 8, 0], [14, 15, 0] apod. Formálně bychom to zapsali takto:

\[\left< X_2\right> = \left\{\left[a,b,0\right] | a,b \in \mathbb{R}\right\}\]

Lineární obal jako nejmenší podprostor #

Mějme vektorový prostor V a nějakou množinu vektorů \(X \subseteq V\). Lineární obal \(\left< X\right>\) je pak vektorový podprostor prostoru V, tj. obal \(\left< X\right>\) je vektorový prostor.

Stačí nám prokázat, že je obal \(\left< X\right>\) uzavřený vůči sčítání a násobení. To jistě je, protože jakýkoliv vektor \(\mathbf{x} \in \left< X\right>\) vznikl jako lineární kombinace vektorů z X.

Lineární obal množiny X je zároveň nejmenší podprostor, který obsahuje všechny vektory z množiny X. Proč? Nejmenší vektorový podprostor, který obsahuje vektory z X, musí obsahovat i všechny lineární kombinace vektorů z X – jinak by to nebyl vektorový prostor. Můžeme sporem předpokládat, že existuje nějaký menší vektorový podprostor, označme ho Y, který obsahuje všechny vektory z X, tedy \(X \subseteq Y\). Protože je, dle předpokladu, Y menší než obal \(\left< X\right>\), tak musí existovat vektor x, který je v \(\left< X\right>\), ale není v Y, tedy \(\mathbf{x}\in\left< X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y\).

Přitom ale platí, že vektor x musí jít sestrojit jako lineární kombinace vektorů z X, musí tak existovat vektory \(\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\in X\) a koeficienty a1, …, an takové, že

\[\mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n\]

Pokud ale Y tento vektor x neobsahuje a přitom obsahuje vektory x1, …, xn, tak Y nemůže být vektorový prostor, a tedy ani podprostor. Obal \(\left< X\right>\) je tak nejmenším podprostorem, který obsahuje všechny vektory z X.

Základní vlastnosti lineárního obalu #

  • Vždy platí, že \(W \subseteq \left< W\right>\). To by mělo být jasné. Lineární obal množiny W bude vždy stejný nebo větší než množina W. Protože lineární obal \(\left< W\right>\) obsahuje všechny lineární kombinace vektorů z W, tak \(\left< W\right>\) musí obsahovat i všechny vektory z W, protože pokud vezmeme nějaký vektor \(\mathbf{x} \in W\), tak platí, že pro a = 1 získáme kombinaci a · x = x.

    Příklad: lineární obal množiny W = {[1, 0, 0]} je množina

    \[\begin{eqnarray} \left< W\right> &=& \left\{\left[a,0,0\right]\,|\,a\in \mathbb{R}\right\}\\. \end{eqnarray}\]

    Zřejmě platí, že \(\left\{\left[1,0,0\right]\right\} \subseteq \left\{\left[a,0,0\right]\,|\,a\in \mathbb{R}\right\}\).

  • Vždy platí, že \(\left< W\right> = \left<\left< W\right>\right>\). Pokud už jednou spočítáme lineární obal, pak lineární obal tohoto obalu je tentýž obal. \(\left< W\right>\) obsahuje všechny lineární kombinace z W. Pokud bychom znova spočítali všechny lineární kombinace z \(\left< W\right>\), nezískali bychom žádné nové.

  • Mějme nějaký vektorový prostor V a mějme dvě podmnožiny tohoto prostoru (ne nutně podprostory) W1 a W2, tj. \(W_1, W_2 \subseteq V\). Pokud zároveň platí, že \(W_1 \subseteq W_2\), pak platí i \(\left< W_1\right> \subseteq \left< W_2\right>\).

    Jinak řečeno: pokud máme dvě množiny vektorů, přičemž jedna z nich je menší, tak tato menší množina vektorů má menší nebo stejný lineární obal než ta větší množina.

    Příklad: nechť W1 = {[1, 0, 0]} a W2 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Vidíme, že platí \(W_1 \subseteq W_2\). Jaké by byly lineární obaly?

    \[\begin{eqnarray} \left< W_1\right> &=& \left\{\left[a,0,0\right]\,|\,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left< W_2\right> &=& \left\{\left[a,b,0\right]\,|\,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}\]

    Množina vektorů W2 „vygenerovala větší obal“ než množina W1, což jsme očekávali. Množina W2 obsahuje všechny vektory z množiny W1, takže všechny lineární kombinace vektoru z W1 se zároveň povede vygenerovat z vektorů v W2.

    Jiný příklad: W3 = {[1, 2, 0]} a W2 = {[1, 2, 0], [5, 10, 0]}. Na první pohled je vidět, že vektory ve W2 jsou závislé. Proto obě množiny vygenerují stejný obal. Tedy přestože \(W_1 \subset W_2\), tak \(\left< W_1\right> = \left< W_2\right>\).

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace