PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Hyperbola

Zobrazit kapitoly článku
  1. Kuželosečky
  2. Elipsa
  3. Hyperbola
  4. Parabola

Hyperbola je kuželosečka. Pro každý bod hyperboly platí, že absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou pevně daných bodů je vždy stejný. Mimochodem, v češtině je hyperbola jiné označení pro nadsázku.

Jak vypadá hyperbola #

Předchozí definice zní trochu strašidelně, takže si jako první prohlédněte obrázek hyperboly:

HyperbolaHyperbola

Všimněte si, že na rozdíl od ostatních kuželoseček jako je elipsa nebo parabola, je hyperbola složena ze dvou křivek. Co znamená předchozí definice? Máme dány dvě ohniska, F1 a F2. Pro každý bod X na hyperbole musí platit, že rozdíl |XF1|−|XF2| je v absolutní hodnotě stejný.

Na obrázku máme dva body X1 a X2. Pro X1 nám rozdíl vyjde: |X1F1|−|X1F2| = 1 − 3 = −2, v absolutní hodnotě pak dostáváme výsledek 2. Stejnou hodnotu bychom měli získat pro X2. Zkusíme to: |X2F1|−|X2F2| = 3 − 5 = −2, v absolutní hodnotě 2 (že je délka strany X2F2 rovná pěti si můžete vypočítat například pomocí Pythagorovy věty).

Pokud tento postup aplikujeme na všechny body hyperboly, vždy získáme výsledek 2.

Popis hyperboly #

Prohlédněte si rozšířený obrázek předchozí hyperboly:

Hyperbola s dalšími popiskyHyperbola s dalšími popisky

  • Bodům F1 a F2 se říká ohniska.
  • Bod S se nazývá střed hyperboly a nachází se ve středu úsečky F1F2.
  • Přímka F1F2 se nazývá hlavní osa hyperboly. Kolmice k této ose v bodě S se nazývá vedlejší osa hyperboly.
  • Průsečíky hyperboly s hlavní osou se nazývají vrcholy hyperboly, na obrázku jsou to body A a B.
  • Úsečky AS a BS se nazývají hlavní poloosa hyperboly. Jejich délku značíme a.
  • Délku vedlejší poloosy hyperboly značíme b.
  • Vzdálenost ohniska od středu se nazývá excentricita, značíme e. Platí vztah:
\[e=\sqrt{a^2+b^2}\]

Aby bylo lépe vidět, kde se vzala délka vedlejší poloosy b, prohlédněte si ještě jeden obrázek:

Hyperbola s vyznačenou vedlejší poloosouHyperbola s vyznačenou vedlejší poloosou

Jedná se o stejnou hyperbolu, kde především přibyly asymptoty, což jsou ty dvě zkřížené fialové přímky a1, a2, které prochází středem S. Hlavní poloosa a zůstává nezměněna, stále jde o úsečku AS. Nyní ale na asymptotu naneseme bod D tak, aby vzdálenost |SD| byla rovna excentricitě e. Délka úsečky AD pak představuje délku vedlejší poloosy hyperboly. Jak je z obrázku vidět, jedná se o pravoúhlý trojúhelník, proto můžeme využít Pythagorovy věty a proto platí vztah

\[e=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Použitá kružnice má střed v bodě S a jen ukazuje, že délka |F1S| (excentricita) je stejná jako délka |SD|.

Rovnice hyperboly #

U hyperboly rozlišujeme dva různé případy. Záleží na tom, jestli je hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou x nebo s y. Mějme hyperbolu se středem S o souřadnicích [m, n].

  • Hlavní osa je rovnoběžná s osou x:
    Hyperbola, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou xHyperbola, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x

Rovnice:

\[\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\]
  • Hlavní osa je rovnoběžná s osou y:
    Hyperbola, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou yHyperbola, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y

Rovnice:

\[\frac{(y-n)^2}{b^2}-\frac{(x-m)^2}{a^2}=1\]
 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace