PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Faktoriál

Faktoriál čísla n je roven součinu všech přirozených čísel, která jsou menší nebo rovna číslu n. Faktoriál zapisujeme pomocí vykřičníku n!. Přičemž pro nulu platí: 0! = 1. Faktoriál se využívá především v kombinatorice, kde se pomocí něj počítá například permutace. Například faktoriál pěti by se rovnal 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definice faktoriálu #

Faktoriál můžeme definovat různými způsoby. Ten nejjednodušší je asi tento:

\[n! = \begin{cases}1&\text{pokud n = 0}\\n\cdot (n-1)!&\text{jinak}\end{cases}\]

Můžeme také uvést definici pomocí produktu:

\[n!=\prod_{k=1}^nk\]

Případně ještě pomocí integrálu:

\[(z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0.\]

(Podrobnosti na matematickém fóru.)

Počítání s faktoriály #

S faktoriály se často počítá ve zlomcích. Zde se pak využívá faktu, že n! = n · (n − 1)!. Toto platí z definice, ukážeme si to na příkladu. Víme, že faktoriál čtyř, 4!, je rovný součinu těchto přirozených čísel: 4 · 3 · 2 · 1. Přitom můžeme napsat, že součin 3 · 2 · 1 je rovný faktoriálu tří: 3 · 2 · 1 = 3!. Faktoriál čtyř už pak můžeme napsat jako 4! = 4 · 3!.

\[4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3!\]

Díky tomu můžeme mnoho různých faktoriálů ve zlomcích efektivně zkrátit. Ukázkový příklad – zjednodušte výraz:

\[\frac{n!}{(n-2)!}\]

Zjednodušení provedeme podle vzorce, který jsem před chvíli zmínil. V čitateli můžeme faktoriál rozdělit na n · (n − 1)! a toto ještě (podle stejného vzorce) můžeme rozložit na n · (n − 1) · (n − 2)!. Nyní už můžeme zlomek hezky zkrátit:

\[\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)\]

Další příklad:

\[\begin{eqnarray}\frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\&=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\&=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\&=&\frac{n}{n+2}\end{eqnarray}\]

A poslední příklad na faktoriál:

\[\begin{eqnarray}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\&=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\&=&(2n+2)(2n+1)\end{eqnarray}\]

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace