PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Pokročilé příklady na derivace

Několik příkladů na složitější derivace než základní práce se vzorečky. Pokud potřebujete vysvětlit definici derivace, přejděte na článek derivace funkce.

První příklad #

Začneme s něčím ne ještě příliš těžkým.

\[f(x)=x^3\cdot e^{-x}\]

Ze vzorečků derivací funkce víme, že derivace funkce ex je opět ex. Bohužel tento jednoduchý postup nemůžeme v tomto příkladě úplně přímo použít, protože v exponentu se nenachází jen x, ale x, takže musíme danou funkci řešit jako složenou funkci. V prvním kroku nás ale stejně čeká rozložení pomocí vzorce pro součin.

\[f^\prime(x)=(x^3)^\prime\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=\]

Levý mnohočlen zderivujeme pomocí klasického vzorce, zbytek necháme stejný:

\[=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=\]

Teď musíme zderivovat poslední funkci. Jak už jsme si říkali, je to složená funkce a tak ji musíme derivovat podle pravidla o složených funkcích:

\[\begin{eqnarray}f(x)&=&h(g(x))\\f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x)\end{eqnarray}\]

Takže derivace naší funkce by vypadala takto:

\[(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}\]

Výraz ex zůstane stejný, protože derivace ex je zase ex a v prvním kroku vzorce derivujeme vnější funkci a vnitřní funkci necháváme nezderivovanou. V druhém kroku násobíme náš mezivýsledek derivací argumentu funkce, což je funkce x. Derivací funkce x je −1. Teď už jen dosadíme náš výsledek do předchozího výrazu:

\[=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.\]

Druhý příklad #

Zadání druhého příkladu:

\[f(x)=\frac{\ln(\cos x)}{\tan x}\]

Zde máme zlomek, v čitateli je jedna funkce a ve jmenovateli je jiná funkce. Takže v prvním kroku budeme derivovat podle vzorce pro dělení. Po aplikaci vzorce získáváme:

\[\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot(\tan x)^\prime}{\tan^2 x}\]

Vezmeme to od konce, zderivujeme nejprve tangens, protože ho můžeme zderivovat jednoduše podle základního vzorce. Platí, že

\[(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}.\]

Po aplikaci tohoto vzorce v čitateli zlomku dostáváme

\[\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}\]

Teď potřebujeme zderivovat logaritmus. Bohužel máme uvnitř logaritmu další vnořenou funkci, takže dostáváme složenou funkci a musíme tak logaritmus derivovat složitěji jako složenou funkci. Derivace samotného logaritmu je 1/x, kde ovšem za x dosadíme argument logaritmu, tj. kosinus. Dále musíme ještě násobit derivací argumentu, tj. derivací kosinu. Takže derivace logaritmu bude vypadat takto:

\[(\ln(\cos x))^\prime=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)^\prime=-\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}\]

Dostali jsme docela hezký zlomek. Pokud si dobře vzpomínáte na goniometrii, tak víte, že tento zlomek se rovná tangensu. Takže můžeme napsat, že se to celé rovná minus tangens:

\[(\ln(\cos x))^\prime=-\tan x\]

Dosadíme to tak do předchozího výsledku:

\[=\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=\frac{-\tan x\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=\]

V čitateli máme dvakrát tangens, tak ho můžeme jednoduše umocnit na druhou. Logaritmus můžeme přesunout do čitatele následujícího zlomku.

\[=\frac{-\tan^2 x-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=\]

Teď můžeme rozdělit čitatele a dostat dva zlomky

\[=-\frac{\tan^2x}{\tan^2x}-\frac{\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2x}=\]

V prvním zlomku se čitatel rovná jmenovateli, takže dostáváme jedničku. Ve druhém zlomku se můžeme zbavit zlomku v čitateli tak, že zlomek rozšíříme výrazem cos2x.

\[=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\cdot\tan^2x}=\]

Tangens nyní můžeme rozložit na podíl sin(x)/cos(x). Protože ale máme tangens na druhou, dostaneme i ve zlomek čitatel a jmenovatel na druhou. Poté můžeme hned zkrátit cos2x.

\[=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=-\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}-1.\]

To je finální výsledek derivace.

Třetí příklad #

Vypočtěte derivaci funkce

\[f(x)=x^{(x^{\frac12})}.\]

Pokud to není jasně vidět – všechno jsou to exponenty, tedy „x na x na jednu polovinu“. V prvním kroku nejprve provedeme úpravu podle vzorce:

\[x=e^{\ln x}\]

Pomocí tohoto vzorce rozložíme první x v našem příkladě:

\[f(x)=(e^{\ln x})^{x^{\frac12}}\]

Nyní aplikujeme vzorec pro práci z mocninami:

\[(a^b)^c=a^{b\cdot c}\]

Odstraníme závorky a dáme do součinu nejvyšší exponent s logaritmem:

\[f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\]

Teď už máme funkci ve tvaru, ve kterém se nám bude lépe derivovat. Jedná se o složenou funkci a jako takovou ji budeme derivovat. První funkce je ex, kde za x dosadíme celý exponent a druhá funkce je v exponentu. Takže rozložením dostáváme:

\[f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime\]

Závorku budeme derivovat jako součin, takže aplikujeme vzorec pro součin.

\[(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime=(\ln x)^\prime\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=\]

Derivace logaritmu je 1/x:

\[=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=\]

Teď zderivujeme druhý výraz, podle klasického vzorce pro derivování mocninných funkcí. Takže platí:

\[\left(x^{\frac12}\right)^\prime=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{x^{-\frac12}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Dosadíme tento výsledek do našeho výpočtu:

\[=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\]

Můžeme ještě upravit první součin, opět pomocí vzorečků, které pracují s mocninami:

\[\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12}=x^{-1}\cdot x^{\frac12}=x^{-1+\frac12}=x^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

Přepíšeme předchozí výraz pomocí výpočtu, který jsme právě udělali:

\[=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\]

A nakonec převedeme logaritmus do čitatele zlomku:

\[=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\]

První zlomek můžeme rozšířit dvěma a zlomky pak můžeme sečíst:

\[=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\]

Nyní už se můžeme vrátit k celé derivaci:

\[f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=\]

Zpátky nahradíme \(e^{\ln x}\) za x:

\[=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).\]

Tím jsme dostali finální výsledek.


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace