PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Binomické rovnice

Binomická rovnice je algebraická rovnice.

Definice #

Obecný tvar binomické rovnice vypadá takto:

\[ax^n+b=0,\]

kde a, b jsou libovolná reálná či komplexní čísla. Dále předpokládáme, že \(a, b\ne0\) a že n je přirozené číslo.

Speciální případy binomické rovnice:

Každou binomickou rovnici můžeme převést do normovaného tvaru tak, že rovnici vydělíme číslem a. Rovnice pak bude mít tvar:

\[x^n+\frac{b}{a}=0\]

Můžeme ještě provést substituci a místo zlomku b/a můžeme psát c. Tedy pokud c = b/a, pak bude mít rovnice tvar:

\[x^n+c=0\]

Jak řešit binomickou rovnici #

Rovnici nejprve převedeme do normovaného tvaru, následně přesuneme c na pravou stranu a tím získáme tvar rovnice

\[x^n=-c\]

Dále celou rovnici odmocníme n-tou odmocninou.

\[x=\sqrt[n]{-c}\]

Dále tuto rovnici řešíme pomocí vzorce pro odmocňování komplexních čísel. Ten vypadá takto:

\[\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\]

přičemž platí

\[z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\]

a celý vzorec platí pro k = 0, 1, …, n − 1.

Příklad: vypočítejte kořeny rovnice x3 − 4 = 0. Po normalizování a odmocnění bude mít rovnice tvar:

\[x=\sqrt[3]{4}\]

Protože číslo c = 4, tedy nemá žádnou imaginární složku, bude úhel α rovný nule a můžeme ho tak vypustit ze vzorce. k-tý kořen rovnice bude mít tvar:

\[x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]\]

Nyní musíme tenhle vzorec aplikovat pro k = 0, 1, 2. Pro k = 0 dostaneme:

\[x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}\]

Pro k = 1:

\[\begin{eqnarray}x_1=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\&=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{eqnarray}\]

Pro k = 2:

\[\begin{eqnarray}x_2=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\&=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{eqnarray}\]

A to je vše, máme tři kořeny x0, x1 a x2.

Další zdroje #


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace