PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Binomická věta

Binomická věta je zobecněním klasických vzorců typu (a + b)2 za pomocí kombinačních technik.

Motivace #

Jistě znáte vzorce pro výpočet (a + b)2 nebo (a + b)3:

\[\begin{eqnarray}(a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\(a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{eqnarray}\]

A přirozenou otázkou je, jestli nelze tyto vzorce zobecnit pro libovolné přirozené číslo n, tj. lze vypočítat (a + b)n?

Odvození #

Samozřejmě to lze a slouží k tomu právě binomická věta. Zkusíme se podívat, jak by tento rozvoj pokračoval dále pro n = 4, 5.

\[\begin{eqnarray}(a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\(a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\end{eqnarray}\]

Už byste měli vidět jistý vzor. Pokud máme výraz (a + b)n, tak na pravé straně vždy začínáme členem an. Druhý člen také obsahuje proměnnou a, ale exponent je o jedna nižší. Pro příklad: u rozkladu (a + b)4 máme na pravé straně v prvním členu a4 a ve druhém a3. Každý další člen obsahuje proměnnou a s o jedna nižším exponentem, než předchozí člen. Proměnná b naopak roste. Na začátku proměnnou b nemáme, respektive máme, ale s exponentem nula: b0 = 1. Ve druhém členu má pak b exponent jedna, pak dva atp.

Při tom všem platí jednoduché pravidlo, že součet exponentů musí být vždy roven n. Pokud vezmeme v úvahu poslední rozložení (a + b)5, tak například třetí člen je 10a3 · b2 a součet exponentů u proměnných a a b je právě 5.

Poslední věc je, jaké budou koeficienty (ta čísla před proměnnými) u každého členu. Určitě si všimnete, že ty koeficienty jsou symetrické: u (a + b)4 máme koeficienty 1, 4, 6, 4, 1, u (a + b)5 máme: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Připomínám, že a4 = 1 · a4, proto tam tu jedničku píši, i když ji explicitně neuvádím ve vzorcích. Další vztah si ukážeme na Pascalově trojúhelníku.

Pascalův trojúhelník #

Pascalův trojúhelník je šikovná pomůcka při počítání rozvoje podle binomické věty. Pascalův trojúhelník je tvořen čísly a platí, že číslo, které se nachází pod nějakými jinými dvěma čísly, se rovná jejich součtu. Zní to krkolomně, ale ze samotného trojúhelníku to bude jasné:

Pascalův trojúhelníkPascalův trojúhelník

Podívejte se například na číslo čtyři. Nad tímto číslem se nachází čísla 1 a 3. A součet 1+3 dává právě 4. Podobně pro ostatní čísla.

A jak Pascalova trojúhelníku využijeme? Když se podíváte na čísla na jednotlivých řádcích, tak zjistíte, že vám velmi připomínají koeficienty u výsledného binomického rozvoje. Například u (a + b)2 máme koeficienty 1, 2, 1, což je přesně druhý řádek. Pro (a + b)4 máme koeficienty 1, 4, 6, 4, 1, což je přesně čtvrtý řádek. Pokud potřebujeme vypočítat (a + b)n, tak se stačí podívat na n-tý řádek Pascalova trojúhelníku.

Definice binomické věty #

Formálně binomická věta zní takto:

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N}\]

Sumu počítáme od nuly do n, včetně. Tedy výsledný počet sčítanců je n + 1. Ta věc v závorkách je kombinační číslo, což je věc z kombinatoriky a představuje počet různých kombinací, z kterých můžeme získat daný člen binomického rozvoje. Zbytek už jsou jen proměnné s patřičnými exponenty. Všimněte si, že součet exponentů se opravdu rovná n: n − k+k = n.

Příklady #

Jednoduchý příklad: vypočtete pomocí binomické věty (a + 2b)4. Jako první se podíváme do Pascalova trojúhelníku na čtvrtý řádek. Ten nám říká, že koeficienty budou mít podobu: 1, 4, 6, 4, 1. Teď už zbývá jen postupně doplňovat exponenty. V prvním členu bude jen a4:

\[(a+2b)^4=a^4+\ldots\]

V druhém členu máme exponenty rozloženy do dvojice 3, 1, tedy dostáváme a3(2b)1. umocnění na prvou nám s výrazem nic neudělá, takže můžeme napsat a32b. Koeficient u druhého členu je 4:

\[(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots\]

Třetí člen bude mít exponenty 2, 2. Tady trochu pozor, umocňujeme celé 2b, tedy takto: (2b)2, což se rovná: (2b)2 = 4b2. Dopíšeme do rozvoje s koeficientem 6:

\[(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots\]

Čtvrtý člen bude mít tvar a(2b)3. Po umocnění dostaneme a8b3. Dopíšeme s koeficientem 4:

\[(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots\]

A poslední člen bude už jen (2b)4 = 16b4:

\[(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.\]

Teď už jen mírně poupravit. Ve členu 4a32b můžeme dát dvojku na začátek členu a vynásobit 2 · 4 = 8. Vznikne nám tak 8a3b. Pokud to tak uděláme i po zbytku, dostaneme výsledek:

\[(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.\]

Všimněte si prosím, že v tuto chvíli už nesedí koeficienty s čísly v Pascalově trojúhelníku.

Odkazy na další zdroje #


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace